Câmpul electromagnetic

Forma integrala a legii

Cele doua legi generale ale electromagnetismului studiate pana la acest moment - legea fluxului electric si legea fluxului magnetic- , in forma locala ofera informatii privind divergenta campului electric, respectiv magnetic. Asa cum stim din teoria generala a campurilor vectoriale, un camp vectorial este determinat daca se cunosc atat divergenta cat si rotorul sau. Alte doua legi generale - legea circuitului magnetic si legea inductiei electromagnetice - se refera, in forma locala, la rotorul campului electric, respectiv magnetic. Aceste legi reflecta totodata legatura intrinseca, in regim variabil, dintre campul electric si cel magnetic, importanta lor fiind cu atat mai mare. In acest subcapitol ne ocupam de legea circuitului magnetic. In forma integrala, enuntul legii este urmatorul:

Integrala de linie a intensitatii campului magnetic H in lungul unei curbe inchise arbitrare ? este egala cu suma dintre curentul de conductie total care strabate o suprafata deschisa arbitrara S? delimitata de curba ? si derivata in raport cu timpul a fluxului electric prin suprafata respectiva,

, (1)

Sensul elementului de linie dl este corelat cu sensul elementului de suprafata ds conform regulei burghiului drept: se roteste burghiul in sensul aratat de dl, iar sensul in care inainteaza burghiul va reprezenta sensul lui ds (Fig.1).

Fig.1

Integrala lui H pe o curba inchisa (circulatia lui H) se numeste tensiune magnetomotoare (t.m.m.), iar curentul de conductie total care strabate o suprafata deschisa se numeste solenatie (?), sau amper-spire.

Daca curba ? trece prin medii corporale in miscare, atunci curba trebuie considerata ca fiind atasata ("lipita") de acele corpuri, deplasandu-se odata cu ele. In aceasta situatie, derivata din membrul drept al rel. (1) se efectueaza cu relatia precizata in subcap.1.3 ("derivata de flux"). Aplicand aceasta formula si tinand cont ca divD=?v (forma locala a legii fluxului electric), rel.(1) devine

(2)

care reprezinta forma integrala dezvoltata a legii circuitului magnetic pentru corpuri in miscare.

Forma locala a legii

Aplicand membrului stang al rel.(2) formula lui Stokes, obtinem

, (3)

care reprezinta forma locala a legii circuitului magnetic pentru corpuri in miscare.

Se observa ca in membrul drept, pe langa densitatea curentului de conductie J, mai apar trei termeni, care trebuie sa aibe dimensiuni fizice tot de densitati de curent: ?D/?t=JD - densitatea curentului de deplasare, rot(Dxv)=JR - densitatea curentului Roentgen, respectiv ?v=Jc - densitatea curentului de convectie. Prezenta termenilor JD, JR si Jc releva un lucru fundamental si anume ca in regim variabil exista si alte "surse" de camp magnetic decat curentii de conductie. Cel mai important este termenul JD a carui introducere se datoreaza lui Maxwell. Prezenta curentului de deplasare in legea circuitului magnetic exprima faptul ca un camp electric variabil in timp este sursa unui camp magnetic. Cand vom studia legea inductiei electromagnetice, vom vedea ca exista si un revers: un camp magnetic variabil in timp produce un camp electric. Aceste doua legi reprezinta bazele fizice ale existentei undelor electromagnetice, pe care le vom studia in cap.8.

Legea circuitului magnetic pentru corpuri in repaus

Prin particularizarea relatiilor (2) si (3) pentru corpuri in repaus (v=0), obtinem

- forma integrala , (4)

- forma locala . (5)

Teorema lui Ampere

Pentru cazul particular al regimului stationar (marimi de stare constante in timp), legea circuitului magnetic devine

(6)

(7)

relatie cunoscuta ca teorema lui Ampere.

In forma integrala a teoremei lui Ampere, membrul drept reprezinta curentul de conductie total prin suprafata S?. Daca, spre exemplu, suprafata S? este strabatuta de N conductoare filiforme, parcurse de curentii Ik (k=1,...,N), atunci rel.(6) se poate rescrie in forma

, (8)

In suma din membrul stang curentii care strabat suprafata in acelasi sens cu ds primesc semnul "+", iar ceilalti, semnul "-" . In Fig.2 sunt prezentate cateva cazuri particulare.

Fig.2

Legea circuitului magnetic in regim cvasistationar

In aplicatiile tehnice uzuale, doar curentul de conductie si cel de deplasare au semnificatii practice. Daca ne referim la un mediu liniar, de conductivitate ? si permitivitate ? , aflat in repaus (JR=0, Jc=0), in care exista un curent de conductie variabil sinusoidal in timp, atunci J=Jmsin?t, iar JD=?D/?t=??E/?t=(?/?)?J/?t=(?/?)Jm?cos?t. Raportul amplitudinilor celor doi curenti este

. (9)

Ponderea celor doi curenti depinde asadar de proprietatile mediului si de frecventa de lucru. Intr-un mediu bun conductor, de exemplu cupru (?=?0, ?=57.106 S/m), la frecventa industriala (f=50 Hz), rezulta JDm/Jm=5.10-17, deci curentul de deplasare este neglijabil in raport cu cel de conductie. Acest lucru este valabil pana la frecvente de ordinul gigahertilor. Daca mediul este bun dielectric, curentul de conductie este neglijabil in raport cu cel de deplasare. In particular, intr-un dielectric perfect (?=0) sau in vid J=0, iar intr-un conductor perfect (?=?) JD=0.

Prin urmare, pentru medii aflate in repaus si in care putem neglija densitatea curentului de deplasare fata de densitatea curentului de conductie, rel.(4) si (5) devin

,

,

similare celor din regimul stationar, (6) si (7). Din acest motiv, regimul de variatie in care se poate face aproximarea mentionata, se numeste regim cvasistationar.

Forma locala pentru puncte apartinand unei suprafete de discontinuitate pentru H

In puncte ale unei suprafete de discontinuitate pentru H, cum este, spre exemplu, suprafata de separatie a doua medii magnetice diferite, forma locala (3) si cele care rezulta de aici prin particularizare, nu mai sunt valabila. Se poate obtine o forma locala pornind de la forma integrala (1) si calculand circulatia lui H pe un mic contur dreptunghiular ?, de inaltime ?h, cu bazele de-o parte si de alta a suprafetei de discontinuitate S12, continut intr-un plan perpendicular pe aceasta (Fig.3).

Fig.3

Daca inaltimea dreptunghiului este mult mai mica decat baza lui, adica ?h<<?l, atunci se poate neglija contributia la circulatia lui H a celor doua laturi de lungime ?h. Notand cu ? versorul tangentei la S12 in planul conturului ?, obtinem

,

sensul de integrare arbitrar ales fiind cel orar. Daca presupunem ca in lungul suprafetei de discontinuitate circula curenti de conductie superficiali de densitate Js, perpendiculari pe planul curbei ?, atunci

Daca ?h?0, atunci fluxul lui D prin suprafata dreptunghiului tinde la zero. Inlocuind aceste rezultate in forma integrala a legii circuitului magnetic pentru medii in repaus,