Elemente ale Teoriei Proceselor Stocastice

Tema 1. Elemente ale teoriei proceselor stocastice

1. Generalităţi.

2. Definiţia unui proces stocastic.

3. Proprietăţi de comportament al unui PS. Clasificarea.

1. Un prosec stocastic est un proces matematic care explică diferite sisteme care au loc datorită întâmplător.

Sistemul est structurat, între elementele sale există permanent o interacţiune care este efectuatăde schimbarea calamităţilor et informaţiei. Când este vorba despre furnizarea serviciilor necesare oamenilor, nu are importanţă felul sistemului. Un sistem are o oarecare interacţiune cu mediul înconjurător, desfăşurarea parametrilor fiind în dependenţă de timp.

a) Stările: local sau global

Prin stare locală, noi înţelegem, starea unui element; iar prin stare globală – starea unui ansamblu de elemente.

O stare este constituită dintr-un ansamblu de parametri calitativi şi cantitativi, caracterizaţi prin atribute distingite intr-un anumit moment.

b) si – starea i

Dacă unul din parametri îşi schimbă valoarea, atunci sistemul îşi schimbă starea sa.

τi – durata activităţii care este în fiecare stare

c) Activităţi în si

d) Durata şederii

e) Un eveniment – dacă într-un mod calitativ, întâmplător, se face o schimbare de parametri calitativi sau cantitativi.

De exemplu, fie un sistem oarecare. Chiar de la împrejurarea dată, avem o schimbare de stări.

În acest caz, are loc o tranziţie a stării i spre(către) starea j (din întâmplare).

Dacă stările sunt diferite, atunci noi ne confruntăm cu un spaţiu cu stări discrete.

variabile continue – temperatura, presiunea, difuzarea

Sc – este un ansamblu de stări continue

Sh -hibrid

ac – activitatea declanşată de starea iniţială

- durata sejurului în starea Si (variabilă aleatoare)

O realizare a unui proces stocastic determină o traiectorie.

Fi(t) – funcţia de distribuire (repartiţie)

2. , o familie de variabile aleatoare X definită asupra unui câmp de probabilitate (S, Ω, P), unde S – este spaţiul de stări care poate fi discret, continuu, hibrid (d/c); Ω – este algebra care defineste mulţimea tuturor submulţimilor mulţimii S, adică regulile de partiţionare a mulţimii S în submulţimile şi regulile de schimbare a stărilor; P – este măsura de probabilitate: condiţionată şi necondiţionată.

Condiţionată – probabilitatea că procesul X în momentul t+Δt se va afla în starea St+Δt, cu condiţia că (1). Această măsură de probabilitate poate fi constantă sau nu.

Dacă Pr depinde de timp – proces eterogen

Dacă Pr nu depinde de timp – proces omogen

Pr = const (Δt), PS omogen

(2) – probabilitatea necondiţionată (absolută)

3. Proprietăţile:

1. Proprietatea de ergodicitate (P.S. ergodic) – PSE

x1, x2, xi, xk – noţiuni de introducere (realizare)

unde xi(t) – variabile aleatoare

T – momentul de observaţie

M [Xt] – media, speranţa metematică pe ansamblul realizării

Un proces stocastic este numit ergodic dacă el are proprietatea de ergodicitate determinată de:

Speranţa matematică pe ansamblul realizaţiilor procesului stocastic este egală cu speranţa temporară a unei singure realizări.

Procesele ergodice caracterizează procesel stocastice care descriu un regim normal de sisteme (regim care observă şi unul care controlează).