Transformări liniare

Pe langa notiunea fundamentala de spatiu vectorial, un alt concept de baza al algebrei liniare este cel de transformare liniara. Aceasta reprezinta ??purtatorul?? de informatie al proprietatii de liniaritate, de la un spatiu vectorial la altul.

Utilizarea consistenta in geometrie a acestei notiuni reclama o tratare detaliata.

?1. Definitie si proprietati generale

Fie V si W doua spatii vectoriale peste campul K.

1.1 Definitie. Se numeste transformare liniara (aplicatie liniara, operator liniar sau morfism de spatii vectoriale) o functie T: V ? W, care satisface proprietatile:

1) T(x+y) = T(x) +T (y) , ? x, y ? V

2) T(?x) = ? T(x) , ? x ? V , ? ? ? K .

Pentru imaginea T(x) a unei transformari liniare T vom utiliza uneori si scrierea Tx.

1.2 Corolar. Aplicatia T: V ? W, este o transformare liniara daca si numai daca

T(?x+?y) = ? T(x) + ? T (y) , ? x, y ? V, ? ?, ? ? K (1.1)

Demonstratia este imediata, iar conditia (1.1) arata ca o aplicatie T: V ? W este o transformare liniara daca imaginea unei combinatii liniare de vectori este egala cu combinatia liniara a imaginilor acestora.

Exemple

1? Aplicatia T: Rn ? Rm , T (x) = AX, A ? M m?n(R) , X = tx este o transformare liniara. In particular, pentru n = m = 1 , aplicatia definita prin T (x) = ax, a ? R, este liniara.

2? Daca U ? V este un subspatiu vectorial atunci aplicatia T: U ? V, definita prin T(x) = x si numita aplicatia de incluziune, este o transformare liniara. In general, restrictia unei transformari liniare la o submultime S ? V nu este o transformare liniara. Proprietatea de liniaritate se pastreaza numai pentru subspatii vectoriale.

3? Aplicatia T: C1 (a, b) ? C0(a,b) , T (f ) = f ? este liniara.

4? Aplicatia T: C0 (a, b) ? R, T(f) = este liniara.

5? Daca T: V ? W este o transformare liniara bijectiva atunci T -1: W ? V este o transformare liniara.

Notam cu L(V, W) multimea transformarilor liniare de la spatiul vectorial V in spatiul vectorial W.

Daca definim pe multimea L(V, W) operatiile:

(T1 + T 2) (x) = : T 1(x) + T 2(x), ? x ? V

(?T) (x) = : ? T (x) , ? x ? V, ? ? ? K

atunci L(V, W) capata o structura de K-spatiu vectorial.

O transformare liniara bijectiva T: V ? W va fi numita izomorfism de spatii vectoriale.

Daca W = V, atunci aplicatia liniara T: V ? V va fi numita endomorfism al spatiului vectorial V, iar multimea acestora va fi notata cu End(V). Pentru T1, T2 ? End(V), doua endomorfisme ale spatiului vectorial V , are sens compunerea acestora

(T 1 ? T 2)(x) = : T1(T 2(x)) , ? x ? V

operatie pe care o vom numi produsul transformarilor T1 si T2, notat pe scurt T 1T 2.

Un endomorfism bijectiv T: V ? V va fi numit automorfism al spatiului vectorial V, iar multimea acestora va fi notata cu Aut(V).

Submultimea automorfismelor unui spatiu vectorial este parte stabila in raport cu operatia produs de endomorfism si formeaza un subgrup GL(V) ? End(V), numit grupul liniar al spatiului vectorial V.

Daca W = K, atunci aplicatia liniara T: V ? K, este numita forma liniara, iar multimea notata cu V* = L( V, K), a tuturor formelor liniare pe V, este un K-spatiu vectorial numit dualul spatiului vectorial V.

Daca V este un spatiu vectorial euclidian de dimensiune finita atunci dualul sau V* are aceeasi dimensiune si se identifica cu V.

1.3 Teorema. Daca T: V ? W este o transformare liniara oarecare, atunci :

a) T (0v) = 0w , T (-x) = - T(x), ? x ? V

b) Imaginea T (U) ? W, a unui subspatiu vectorial U ? V, este subspatiu vectorial

c) Contraimaginea T-1 (W? ) ? V , a unui subspatiu vectorial W? ? W , este un subspatiu vectorial.

d) Daca vectorii x1, x2 ,..., xn ? V sunt liniar dependenti atunci si vectorii T (x1), T (x2) ,..., T (xn) ? W sunt liniar dependenti.

Demonstratie. a) Inlocuind ? = 0 , respectiv ? =-1 in conditia

de omogenitate T (?x) = ? T (x) , obtinem T (0v) = 0w si respectiv T (-x) = - T (x).

In cele ce urmeaza vom renunta la indicii vectorilor nuli ai celor doua spatii vectoriale.

b) Pentru ? u, v ? T (U) , ? x, y ? U astfel incat u = T (x) si v = T (y). In ipoteza ca U ? V este un subspatiu vectorial, pentru x, y ? U, ?, ? ? K avem ?x + ?y ? U si relatia (1.1), obtinem

?u + ?v = ? T (x) + ? T (y) = T(?x + ?y) ? T (U).

c) Daca x, y ? T -1(W ?) atunci T (x) , T (y) ? W ? si pentru ? ?, ? ? K avem ? T (x) + ? T(y) = T (?x + ?y) ? W ? (W ? este subspatiu vectorial), de unde rezulta ? x + ? y ? T -1(W ?).

d) Aplicam transformarea T relatiei de dependenta liniara ?1x1 + ?1x1 + ... + ?nxn = 0 si obtinem, folosind a), relatia de dependenta liniara ?1 T (x1) + ?2 T (x2) + ... + ?n T (xn) = 0.

1.4 Consecinta. Daca T: V ? W este o transformare liniara atunci :

a) Multimea Ker T = T -1{0} ={x ? V | T (x) = 0 } ? V numita nucleul transformarii liniare T , este un subspatiu vectorial.

b) Im T = T (V) ? W, numita imaginea transformarii liniare T, este un subspatiu vectorial.

c) Daca T(x1), T(x2), ... , T(xn) ? W sunt liniar independenti atunci si vectorii x1, x2 ,..., xn ? V sunt liniar independenti.