Metode numerice

Metodele numerice reprezinta tehnici prin care problemele matematice

sunt reformulate astfel incat sa fie rezolvate numai prin operatii aritmetice. Prin

trecerea de la infinit la finit, diferential la algebric, neliniar la liniar problemele

complicate sunt inlocuite de probleme mai simple care au aceeasi sau "aproape"

aceeasi solutie. Astfel solutiile obtinute prin aplicarea metodelor numerice

reprezinta doar aproximatii ale solutiilor problemelor originale, si deci implica

erori.

1.1. Elemente de teoria erorilor

Sursele erorilor si clasificarea lor

Se pot distinge trei tipuri de erori in cazul aplicarii de metode numerice

pentru rezolvarea unei probleme:

o Erori provenite din simplificarea modelului fizic, pentru a fi descris

intr-un model matematic; erori din masuratorile initiale sau erori din

calcule anterioare. Aceste tipuri de erori se numesc erori inerente.

o Erori datorate metodei utilizate-de exemplu, trunchierea unei serii

infinite (mai precis aproximarea sumei unei serii printr-o suma

partiala), sau considerarea unui termen cu un rang "suficient" de mare

pentru a aproxima limita unui sir. Aceste erori sunt numite erori de

metoda sau erori de trunchiere.

o Erori datorate reprezentarii datelor si efectuarii calculelor intr-o

aritmetica a virgulei mobile. Aceste erori se numesc erori de rotunjire.

Erorile inerente sunt anterioare aplicarii metodei numerice, iar erorile de

trunchiere si de rotunjire apar in timpul calculului numeric.

Madalina Roxana Buneci Metode Numerice - Curs - 2007

2

Erori absolute si erori relative

Eroarea absoluta = valoare aproximativa - valoare exacta

Eroarea relativa =

valoare exacta

eroare absoluta

Din aceste definitii se obtine:

Valoare aproximativa = (valoare exacta )(1 + eroare relativa)

Eroarea absoluta nu tine seama de ordinul de marime al valorilor

comparate. De exemplu, o eroare in centimetri este mai importanta daca lungimea

calculata este de 100 cm, decat daca este de 100 km. De aceea, eroarea relativa se

raporteaza la valoarea reala. Adesea eroarea relativa se exprima in procente:

valoare exacta

eroare absoluta . 100 %

De obicei valoarea exacta nu este cunoscuta. De aceea nici eroarea

(absoluta sau relativa) nu poate fi calculata, si doar se estimeaza valorile limita ale

acesteia. Se utilizeaza majoranti pentru modulul erorii (sau norma erorii, daca se

lucreaza intr-un spatiu normat).

Erori ale datelor si erori de calcul

Consideram urmatoarea problema tipica: calculul valorii unei functii

f:R(R)R pentru un argument dat. Fie:

x = valoarea de intrare exacta

x* = valoare de intrare aproximativa

f(x) = rezultatul dorit

f* = functia aproximativa de calcul

Eroarea totala este data de:

f*(x*) - f(x) = (f*(x*) - f(x*)) - (f(x*) - f(x))

Deci

Eroare totala = eroare de calcul + eroare propagata a datelor,

unde,

Eroare de