CAPITOLUL I
ECUAŢII DIFERENŢIALE
1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală.
Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple.
Problema Cauchy.
Definiţie. Fie F(x,y,y',…,y(n)) o funcţie reală definită pe [a,b] Y,YR, având argumente variabila reală × ⊂ 1+n],[bax∈ şi funcţia reală y împreună cu derivatele ei Relaţia: .,...,'',')(nyyy
(1) F(x,y,y',…,y(n))=0
se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dacă se cere să se determine funcţiile y=f(x) definite pe intervalul [a,b], având derivate până la ordinul n inclusiv în orice punct al intervalului [a,b] astfel încât să avem:
F(x,f(x),f' (x),…,f(n)(x))=0 pentru orice ],[bax∈.
Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (1).
Dacă (1) poate fi scrisă:
(2) y(n)=f(x,y,y',…,y(n-1))
atunci (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1).
Dacă n=1, din (1) avem F(x,y,y')=0 care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi (sau y'=f(x,y) forma explicită). Soluţiile ecuaţiei F(x,y,y')=0 se pot pune sub forma y=φ(x,C), C constantă şi se numesc soluţii generale. Dacă dăm lui C o valoare particulară obţinem o soluţie particulară.
Ecuaţia y=xy'+y' 2 are soluţia generală y=Cx+C2şi 42xy−= numită soluţiesingulară. Din punct de vedere geometric, ecuaţia Dyxyxfdxdy∈=),( ),,(reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii y= φ(x) este o curbă situată în D, cu proprietatea că în fiecare punct (x,y) al său, tangenta la curbă reprezentată printr-un vector face cu axa Ox un unghi α, astfel că tgα=f(x,y).
2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvate
în raport cu y', integrabile prin metode elementare.
2.1. Ecuaţii cu variabile separate.
Ecuaţia diferenţială
(1) P(x)dx+Q(y)dy=0
se numeşte ecuaţie cu variabile separate. Soluţia generală se obţine astfel:
CdyyQdxxPxxyy=+∫∫00)()(
2.2. Ecuaţii omogene.
Ecuaţiile diferenţiale omogene sunt de forma:
(2) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfdxdy .
Dacă se face schimbarea de funcţie: y=tx, ecuaţia (2) se transformă într-o ecuaţie cu variabile separate.
Într-adevăr, avem: tdxdtxdxdy+=
şi ecuaţia (2) devine: )(tftdxdtx=+ sau xdxttfdt=−)( care este o ecuaţie cu variabile separate.
Exemplu. Să se rezolve ecuaţia: .11+−=xyxydxdy Efectuând substituţia y=tx ecuaţia devine: xdxdttt−=++112 de unde integrând şi revenind la ,xyt= obţinem integrala generală: Cxyarctgyx=++22ln.
2.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene.
Ecuaţia de forma:
(3) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=222111'cybxacybxafy
unde ),(kcbadxdyykkk21 R , , ,'=∈= este reductibilă la o ecuaţie omogenă.
1)Dacă c1=c2=0, ecuaţia este omogenă de tipul anterior.
2) Dacă dreptele 0 şi 022212221≠−≠+babacc
0 şi 0222111=++=++cybxacybxa nu sunt paralele şi se intersectează în punctul (x0,y0). În acest caz facem substituţia: ⎩⎨⎧+=+=vyyuxx00
şi ecuaţia (3) devine: .2211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=vbuavbuafdudv Cu ajutorul substituţiei v=u·t se obţine o ecuaţie cu variabile separate.
cursul + probleme
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
