FUNCT¸ II COMPLEXE
1.1 Mult¸imea numerelor complexe
Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea
numerelor reale R astfel ca orice ecuat¸ie de gradul al doilea sØa aibØa solut¸ii
ˆin noua mult¸ime. Ca mult¸ime, C nu diferØa de R2, adicØa C este mult¸imea
perechilor ordonate de numere reale
C = f(x; y)j x 2 R; y 2 Rg (1.1)
Pe mult¸imea se C definesc douØa operat¸ii algebrice interne, adunarea ¸si
ˆinmult¸irea,
z + z0 = (x + x0; y + y0); (1.2)
z ¢ z0 = (xx0 ¡ yy0; xy0 + x0y):
astfel ca (C;+; ¢) sØa fie corp, iar (R;+; ¢) sØa poatØa fi asimilat cu un subcorp
al lui C.
Elementele neutre ale corpului C sunt
0 = (0; 0); 1 = (1; 0): (1.3)
Avem
NumØarul complex (0; 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea complex
2 CAPITOLUL 1. FUNCT¸ II COMPLEXE
NumØarului complex z i se asociazØa ˆin planul xOy (mult¸imea R2) punctul
M de coordonate carteziene (x; y) numit imaginea geometricØa a lui z. Reciproc
fiecØarui punct M(x; y) i se asociazØa un numØar complex z numit afixul
lui M. Axa Ox se nume¸ste axa realØa, axa Oy se mai nume¸ste axa imaginar
Øa, iar planul xOy se mai nume¸ste planul complex sau planul lui Gauss al
variabilei z.
Pentru orice z = (x; y) 2 C avem z = (x; 0)+(0; y) = (x; 0)+(0; 1) ¢(y; 0)
de unde, prin identificarea x ´ (x; 0) ¸si y ´ (0; y), se obt¸ine scrierea uzualØa
a numerelor complexe z = x + iy.
Pentru orice z = x + iy 2 C se define¸ste conjugatul z = x ¡ iy, partea
realØa Re z = x ¸si partea imaginarØa Im z = y. Avem
Pentru orice z 2 C se define¸ste modulul sØau jzj = px2 + y2 = pz ¢ z .
Au loc urmØatoØarele proprietØat¸i:
² z = 0 dacØa ¸si numai dacØa jzj = 0;
² jz1 + z2j · jz1j + jz2j ; 8z1; z2 2 C (inegalitatea triunghiului);
² jz1 ¢ z2j = jz1j ¢ jz2j ; 8z1; z2 2 C;
² jRe zj · jzj, jIm zj · jzj.
Funct¸ia C £ C ! C, (z; z0) 7¡! hz; z0i = z ¢ z0 este un produs scalar pe C
¸si norma definitØa cu ajutorul acestui produs scalar este modulul
kzk = phz; z0i = pz ¢ z0 = jzj :
ˆIn identificarea C cu R2 modulul ˆin C corespunde normei euclidiene din
R2: Cu ajutorul acestui produs scalar putem defini o distant¸Øa pe C prin
d (z; z0) = jz ¡ z0j ; 8z; z0 2 C:
Astfel C devine spat¸iu metric complet.
Pentru orice z 2 Cn f0g, unicul numØar real ' 2 (¡¼; ¼] (sau ' 2 [0; 2¼)
ˆin unele cazuri) astfel ˆincˆat
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
