Matematici aplicate în economie

^In aceast?a sect,iune sunt reamintite not,iunile de lege de compozit,ie,

grup, inel, corp. Fie M o mult,ime nevid ? a. C^and se defines,te not,iunea

de lege de compozit,ie pe M, nu este necesar s?a preciz ?am natura elementelor

mult,imii, sau modul efectiv ^in care act,ioneaz?a legea pe produsul

cartezian M GBPM. Ins ? a, se dovedes,te a fi interesant studiul legilor

de compozitie av^and anumite propriet ? at,i. Mult,imea M ^inzestrat ?a cu

una sau mai multe legi de compozit,ie care satisfac anumite propriet ? at,i

specifice se numes,te structur ?a algebric ? a. Structurile algebrice studiate

^in liceu sunt : monoidul, grupul, inelul s,i corpul.

Definit,ie. O mult,ime nevid ?a M este monoid ^in raport cu o lege de

compozit,ie definit ?a pe M:

M GBP M ! M

(x ; y) 7! x ? y

dac?a sunt satisf ?acute urm?atoarele axiome :

1) (x ? y) ? z = x ? (y ? z), 8x; y; z 2 M

2) 9e 2 M astfel ^inc ^ at e ? x = x ? e, 8x 2 M:

Definit,ie. Un cuplu (G; ?) format cu o mult,ime nevid ?a G s,i o lege de

compozit,ie pe G :

G GBP G ! G

(x ; y) 7! x ? y

se numes,te grup dac?a (G; ?) este monoid s,i ^in plus este satisf ?acut?a

axioma : 8x 2 G; 9x0 2 G astfel ^inc ^ at x0 ? x = x ? x0 = e: Mai mult,

dac?a : x ? y = y ? x, 8x; y 2 G, atunci G se numes,te grup comutativ sau

abelian.

Definit,ie. O mult,ime M ^impreun?a cu dou?a legi de compozit,ie :

M GBP M ! M

(x ; y) 7! x + y

s,i

M GBP M ! M

(x ; y) 7! xy

se numes,te inel dac?a :

1)(M; +) este grup abelian ;

2)(M; :) este monoid ;

3)^inmult,irea este distributiv ?a fat,?a de adunare :

x(y + z) = xy + xz; 8x; y; z 2 M:

Definit,ie. Un inel K se numes,te corp dac?a 0 6= 1 s,i pentru orice

element x 2 K, x 6= 0 9x!1 2 K astfel ^inc ^ at x!1x = xx!1 = 1: Corpul

K se numes,te comutativ dac?a ^inmult,irea sa este comutativ ? a.

1.2 SPAT, II VECTORIALE. SUBSPAT, II VECTORIALE.

Definit,ie. Fie V o mult,ime nevid ?a s,i K un corp comutativ. Pe mult,imea

V se definesc dou?a operat,ii :

- o operat,ie intern? a, numit?a adunare :

" + " : V GBP V ! V

(x ; y) 7! x + y

- o operat,ie extern? a, numit?a ^inmult,ire cu scalari :

":" : K GBP V ! V

((R) ; y) 7! (R)y:

V se numes,te spat,iu vectorial peste corpul K s,i se noteaz?a V=K, dac?a

relativ la adunare s,i ^inmult,irea cu salari din K, satisface urm?atoarele

condit,ii :

I) (V; +) este grup comutativ ;

II)8v;w 2 V; 8(R); ? 2 K :

1. ((R) + ?)v = (R)v + ?v;

2. (R)(v + w) = (R)v + (R)w;

3. (R)(?v) = ((R)?)v;

2

4. 1:v = v; 1 2 K:

Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc

scalari. V se numes,te spat,iu vectorial real c^and K = R:

Definit,ie. Fie V=K un spat,iu vectorial s,i S u V o submult,ime nevid ?a

^in V S se numes,te subspat,iu vectorial al spat,iului vectorial V dac? a,

relativ la operat,iile de adunare s,i ^inmult,ire cu scalari induse din V ^in

S, acesta devine spat,iu vectorial.

Propozitia 1. Fie V=K un spat,iu vectorial. Se demonstreaz?a c?a S u V

este subspat,iu vectorial dac?a s,i numai dac? a: 8(R) 2 K; 8u; v 2 S;

(1.1)

1/2

a) u + v 2 S

b) (R)u 2 S;

dac?a s,i numai dac? a: 8(R) 2 K; 8u; v 2 S;

(1.2) 8(R); ? 2 K; 8u; v 2 S; (R)u + ?v 2 S:

Solut,ie. Presupunem c?a S este subspat,iu vectorial ^in V Atunci, din

definit,ia subspat,iului vectorial, pe S avem definite operat,iile din V ,

adic?a relat,iile (1.1) sunt verificate.

Presupunem c?a relat,iile (1.1) sunt verificate s,i demonstr?am (1.2).

Folosind condit,iile ((1.1) (b) s,i (a)) avem:

8(R) 2 K; 8u 2 S ) (R)u 2 S

8(R) 2 K; 8v 2 S ) ?v 2 S

3/4

) (R)u + ?v 2 S:

R?am^ane de demonstrat c?a relat,ia (1.2) implic ?a relat,iile (1.1). Pentru

aceasta se observ?a c?a pentru (R) = 1 s,i ? = !1 ^in (1.2), obt,inem:

u ! v 2 S; 8u; v 2 S; adic?a S este subgrup aditiv al grupului (V; +):

As,adar (S; +) este grup abelian.

Consider^and (R) oarecare s,i ? = 0 ^in (1.2), obt,inem: (R)u 2 S; 8u 2 S;

adic?a operat,ia extern?a este definit ?a pe S:

Deoarece S u V , condit,iile (II) din definit,ia spat,iului vectorial sunt

verificate pentru elementele lui S.

Cu aceasta, am demonstrat c?a S este spat,iu vectorial ^in raport cu

operat,iile induse din V s,i mai mult, S este subspat,iu vectorial ^in V

1. S. Antohe, N. Codau, T. Buhaescu, Algebra liniar a, geometrie analitic a s,i geometrie

diferential a, Galati 1986.

2. T. Buhaescu, G. Dutu, Matematici aplicate in economie. Editura Fundatiei Universitare

"Dunarea de Jos" Galati 1999.

3. G. Boldur-Latescu, G. Sacuiu, E. t ig anescu, Cercetare operational a cu aplicatii in economie,

EDP, Bucures,ti 1979.

4. W.W.L. Chen, Note de curs.

5. M. Donciu, D. Flondor, Algebra s,i analiz a matematica, EDP Bucures,ti 1979.

6. J. Hefferon, Linear Algebra.

7. C.Mihoc, Micu, Teoria probabilit atilor s,i statistic a matematica, EDP, Bucurs,ti 1980.

8. V. Obadeanu, Elemente de algebr a liniar a s,i geom etrie analitic a, Editura Facla, Timis,oara

1981.

9. O. Popescu, D. Baz, A. Popescu, V. Butescu, N. Stremtan, P. Vasiliu,Matematici aplicate

in economie. Bucures,ti 1987.

10. O. Popescu, C. Raischi, V. Badin, V. Butescu, O. Firic a, M. Toma, S. Woinaroski, Matematici

aplicate in economie. Vol. 1, Ed. did. s,i ped. Bucures,ti 1993.

11. R. Trandafir, Introducere in teoria probabilit atilor, Editura Albatros 1979.

12. C. Zidaroiu, Programare Liniar a, Editura Tehnica, Bucures,ti.