Geometrie

VI.1. BREVIAR TEORETIC

VI.1.1. Reper cartezian in spatiul punctual euclidian

Ansamblul se numeste reper cartezian in . Punctul O se numeste originea reperului, baza reperului. Coordonatele euclidiene ale vectorului de pozitie , , se numesc coordonatele carteziene ale punctului P fata de reperul cartezian si se noteaza P(x,y,z): = abscisa, = ordonata, = cota.

VI.1.2. Schimbari de repere carteziene

Rotatia. Se considera doua repere carteziene si orientate pozitiv. Se numeste rotatie, R, a reperului in jurul punctului fix O, trecerea de la reperul la reperul . Daca este matricea de trecere de la baza ortonormata la baza , iar , sunt coordonatele unui punct arbitrar M din spatiul punctual euclidian fata de reperul , respectiv , se obtine:

(6.1)

Translatia. Se considera doua repere carteziene si cu . Trecerea de la reperul la reperul se numeste translatie spatiala de vector . Relatia intre coordonatele si ale unui punct arbitrar fata de Oxyz si, respectiv, este data de

(6.2)

unde a, b, c sunt coordonatele vectorului fata de Oxyz.

Roto-translatia. Se considera doua repere carteziene si . Fie T translatia reperului de vector . Daca R este rotatia reperului in jurul originii , formulele roto-translatiei sunt:

(6.3)

unde (a, b, c) sunt coordonatele vectorului fata de Oxyz iar A este matricea de trecere de la reperul la reperul .

Observatie. In cazul roto-translatiei plane de vector si unghiul , avem formulele:

(6.4)

VI.1.3. Alte repere si sisteme de coordonate in

Coordonate polare. Se numeste reper polar plan ansamblul unde O este un punct fix din plan iar o dreapta orientata fixa din plan care contine punctul O. Se cunosc relatiile:

, . (6.5)

Inversele formulelor (6.5) sunt:

. (6.6)

Coordonate cilindrice (semipolare). Se numeste reper semipolar in spatiu ansamblul unde P este un plan fix in care este un reper polar plan. Se cunosc relatiile:

, , , (6.7)

cu formulele inverse . (6.8)

Coordonate sferice. Se numeste reper polar in spatiu ansamblul format dintr-un punct fix O, o axa fixa care trece prin O si un plan fix ce trece prin numit plan polar. Se obtin relatiile:

, . (6.9)

In coordonate carteziene, formulele (6.9) au forma:

. (6.10)

Coordonate omogene. Numerele reale X,Y,Z,T nesimultan nule se numesc coordonate omogene ale punctului M daca depind de x,y,z prin relatiile:

. (6.11)

VI.2. PROBLEME REZOLVATE

P1. Intr-un sistem xOy de axe carteziene ortogonale se dau punctele . Sa se arate ca patrulaterul ABCD este inscriptibil in O.

Solutie. Fie coordonatele polare ale unui punct in plan. Utilizand formulele , se gaseste , , , , deci .

P2. Sa se gaseasca, intr-un reper polar, distanta intre punctele si .

Solutie. Intr-un reper cartezian ortogonal distanta dintre doua puncte este data de . Folosind relatiile dintre coordonatele carteziene si coordonatele polare, se obtine formula . Deci, .

P3. Fiind date in coordonate sferice punctele , , , sa se afle coordonatele carteziene ale acestor puncte fata de un reper triortogonal drept.

Solutie. Se folosesc formulele , si se obtine , deci . Analog se obtin , .

P4. Raportand spatiul la un reper cilindric, se dau punctele , , , . Sa se determine coordonatele carteziene ale acestor puncte fata de un reper triortogonal drept.

Solutie. Cu formulele se obtine . In mod analog se gasesc , , .

P5. Fiind date in coordonate omogene punctele , cu , , , cu , , , , sa se scrie coordonatele carteziene ale acestor puncte.

Solutie. Folosind definitia coordonatelor omogene, . Pentru A coordonatele carteziene , de unde . Similar, , , , .

P6. In raport cu un reper cartezian punctul A are coordonatele (7,5). Sa se afle coordonatele lui, daca axele au fost translatate in punctul .

Solutie. Pentru translatie se folosesc formulele , cu , coordonatele in reperul vechi, respectiv, nou, iar coordonatele vectorului . Prin urmare, relatiile devin , deci .