Dualitatea lui Poincare

Geometrie et Topologie , Histoire et Epistemologie

La dualite de Poincare

Patrick Popescu-Pampu

Professeur, Universite Lille 1. Responsable de notre rubrique Cafe des maths. (page web)

Il sera question dans cet article d'une nouvelle forme de calcul developpee parHenri Poincare a partir de 1895, portant sur les figures vivant dans les espaces de dimension quelconque. Elle lui permit de definir des mesures numeriques de la forme de ces espaces, leurs nombres de Betti.

Lorsque l'espace est referme sur lui-meme comme une surface spherique, ces nombres verifient une etonnante propriete de symetrie, qui porte depuis le nom dedualite de Poincare. Poincare en proposa deux strategies de preuve. Nous decrirons ces strategies, ainsi que les nouvelles mesures de la forme des espaces decouvertes par Poincare lorsqu'il meditait sur la deuxieme d'entre elles. Nous examinerons enfin quelques travaux precurseurs, afin de mieux mettre en evidence l'apport de Poincare.

De l'espace unique a la pluralite des espaces

Mais que sont donc les espaces de dimension quelconque ?

Jadis, l'espace etait un, physique, intuitif, mysterieux. On pouvait l'explorer en s'y deplacant, ce qui permettait parfois a certains de decouvrir des mondes nouveaux. Au-dela il y avait les profondeurs, ainsi que les nuees, peuplees d'etoiles ou bien d'anges. Puis, par l'exercice de la pensee, certains viderent l'espace de ses etoiles et de ses anges. << Le silence eternel de ces espaces infinis >> depeuples effraya Pascal.