De regula, in matematica, prin eroare se intelege diferenta dintre valoarea exacta a unui numar si valoarea sa aproximativa. Se disting trei tipuri de erori.
1. Erorile inerente sunt cele care provin din simplificarea modelului fizic, pentru a putea fi descris printr-un model matematic. In aceasta categorie intra si erorile de date (aparatele de masura lucreaza inevitabil cu anumite abateri)
2. Erorile de metoda (trunchiere) apar datorita faptului ca formulele si ecuatiile exacte se inlocuiesc cu formule si ecuatii aproximative, pentru a permite calculul printr-un numar finit de operatii aritmetice. De exemplu, numarul e este suma seriei !1 !21!111+++++n, care nu poate fi calculata exact. Insumand numai un numar finit de termeni apare in mod inevitabil o eroare de trunchiere.
3. Erorile de rotunjire se datoreaza faptului ca in calcule, numerele cu un numar infinit de zecimale se aproximeaza prin numere cu un numar finit de zecimale. Pe de alta parte, orice calculator opereaza doar cu un numar finit de numere reale (evident cu un numar finit de zecimale), in timp ce multimea numerelor reale este infinita. Apare astfel o aproximare inevitabila a numerelor reale care intervin in calcule cu numerele reprezentate in calculator.
In acest capitol sunt analizate erorile inerente si erorile de rotunjire, urmand ca erorile de trunchiere sa fie studiate pe parcursul cartii, odata cu prezentarea metodelor numerice respective.
Bazele A 2 nalizei Numerice
- 0.2. Reprezentarea numerelor in calculator
La baza constructiei majoritatii tipurilor de calculatoare numerice stau elementele bistabile si de aceea se foloseste ca baza de reprezentare a numerelor in calculator baza 2, ale carei cifre sunt 0 si 1.
Este cunoscut ca orice numar real x se poate reprezenta in baza 2 sub forma:
)222 22(22110011++++++- =- - - - - - - - - - - nnnnx,
cu 1sau0=i-
De exemplu numarul 13.5 in baza 10 se poate scrie in baza 2 sub forma:
1.110121212021215.131023=- +- +- +- +- =-
Reprezentarea numerelor in calculator (reprezentarea interna) se face pe un numar finit de pozitii, n , numit lungimea cuvantului, care este fixata la constructia calculatorului. Pentru precizii mai bune, unele calculatoare au posibilitatea reprezentarii numarului pe 2n, 3n , pozitii (reprezentare pe dublu cuvant, triplu cuvant, ).
Pe cele n pozitii ale unui cuvant, un numar poate fi reprezentat in virgula fixa (proprie numerelor intregi sau numerelor subunitare) sau in virgula mobila.
Majoritatea tipurilor de calculatoare numerice folosesc pentru calcule stiintifice reprezentarea numerelor in virgula mobila. In aceasta reprezentare, pozitia virgulei zecimale nu este fixa. Orice numar real x se poate scrie sub forma sau cu bax10- =bax2- =Z- <ba si 1; a se numeste mantisa numarului real x, iar b exponentul.
Reprezentarea in virgula mobila este normalizata daca prima cifra a mantisei este nenula, deci daca 110- a, respectiv 12- a. In acest caz reprezentarea este unica. Cifrele semnificative ale unui numar sunt cifrele mantisei, neluand in seama zerourile care le preced.
Exemplul Reprezentarea normalizata, in virgula mobila a numarului in baza 10 x = 13.5 este: , indicele 10 aratand ca reprezentarea este in baza 10. In acest caz mantisa este a = 0.135, iar exponentul b =2. 2135.010135.0102=-
In baza 2, acelasi numar are reprezentarea normalizata in virgula mobila , avand mantisa a = 0.11011 si exponentul b = 100. 42211011.010011011.0- =
Pentru orice calculator numeric exista numerele fixe t si e care reprezinta numarul de cifre ale mantisei, respectiv ale exponentului unui numar real ce poate fi reprezentat in calculatorul respectiv (n = t + e). Numerele t si e determina
Erori 3
impreuna cu baza de numeratie (10 sau 2) o multime finita de numere reale care pot fi reprezentate exact in calculator. R- F
- 0.3. Erorile de rotunjire si calculele in virgula mobila
Deoarece multimea F a numerelor reprezentabile intr-un calculator este finita, se pune problema aproximarii unui numar real Fx- printr-un numar Aceasta problema apare nu numai in datele de intrare in calculator, ci si pentru rezultate intermediare sau finale in urma calculelor efectuate in calculator. Sunt frecvente cazurile cand Fg- Fyx- , si yx- sau yx- sau yx nu fac parte din multimea F.
In mod
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
