Definitie. Daca intr-un calcul, in exprimarea unui rezultat inlocuim
numarul (vectorul) a cu numarul (vectorul) a* , spunem ca l-am aproximat pe a
cu a* . Diferenta ?a* = a - a* se numeste eroarea cu care l-am aproximat pe a
prin a* .
Spre exemplu, daca numarul real a , care este o fractie zecimala infinita, se
aproximeaza cu o fractie zecimala a* finita unde in fractia infinita a lui a s-au
inlocuit cu zero cifrele zecimale de la un rang in colo, se spune ca aproximarea s-a
facut prin rotunjire, iar diferenta a - a* se numeste eroare de rotunjire. Astfel,
daca , ... ... 0 1 2 2 a = a a a a si n n a a ,a a ...a 00... a ,a a ...a 0 1 2 0 1 2
* = = , spunem ca
rotunjirea s-a facut la zecimala de ordin n. O asemenea rotunjire se poate face si
astfel:
? ? ?
<
+ >=
=
+
+
-
, ... daca 5
, ... 10 daca a 5
0 1 2 1
* 0 1 2 n 1
n n
n
n
a a a a a
a a a a
a
In acest caz a - a <= ?10-n
2
* 1 .
Definitie. Daca a este un numar (vector), iar a* este numarul (vectorul)
obtinut ca efect al unei formule matematice (egalitate, inegalitate), atunci a - a*
se numeste eroare de metoda sau rest.
Astfel, prin aproximarea sumei unei serii convergente cu o suma partiala a
sa, eroarea ce se face este un rest (numit chiar restul seriei).
In formula lui Taylor:
( )( ) ( )( ) 1
0
( 1)
0
0
0
( )
! ( 1)!
( ) +
+
=
-
+
?
=? - + n
n n
k
k
k
x x
n
x x f
k
f x
f x ,
expresia
( )( ) 1
0
( 1)
( 1)!
+
+
-
+
? n
n
x x
n
f
este restul in aproximarea lui f (x) prin
( )( ) ?=
-
n
k
k
k
x x
k
f x
0
0
0
( )
!
.
De obicei, nu se evalueaza ?a* ci ?a* = a - a* numita valoarea
absoluta a erorii. De regula, se poate gasi doar un majorant a - a* <= ?? .
37
Definitie. O cifra zecimala de ordinul n a lui a* se numeste cifra exacta
daca valoarea absoluta a erorii nu depaseste 10-n .
De exemplu, daca a = 1,73214 si a* = 1,73202 , atunci primele patru
zecimale din a* sunt exacte.
In conditiile precedente, daca a si a* sunt vectori intr-un spatiu normat,
atunci eroarea se aprecieaza prin a - a* , de fapt printr-un majorant pentru
a - a* .
II. METODE DIRECTE DE REZOLVARE A SISTEMELOR
DE ECUATII LINIARE
II.1. Metoda lui Gauss
Se considera sistemul
Ax = a (1)
unde ( ) ij i j { m} A a , ? 1,..., = este o matrice reala, ( ) m a a ,...,a 1 = , a? Rm si
( ) m x x ,..., x 1 = , x? Rm . Presupunem ca sistemul are solutie unica, deci ca
det A ? 0 .
In metoda Gauss se transforma sistemul (1) in unul echivalent cu matricea
triunghiulara. Transformarea se face prin operatii liniare, realizandu-se eliminarea
succcesiva a necunoscutelor. Sunt necesare si unele permutari de linii si de
coloane, operatii numite de pivotare.
Fixam prima coloana in (1) si permutand doua linii plasam coeficientul de
modul maxim din prima coloana in prima linie. In particular, acest coeficient
(numit pivot) este nenul. Sistemul se scrie
(0)
1
(0)
i
m
j
ij j a x a = ?=
, i?{1,...,m} (2)
unde (0)
1
(0)
11 i a >= a , ?i?{1,...,m}.
Impartind prima linie a sistemului cu (0)
11 a ea devine
1
(1)
2 1
(1)
1 12 x a x ... a x b m m + + + = (3)
unde (0)
11
(0)
(1) 1
1 a
a
a j
j = , j ?{2,...,m}, (0)
11
(0)
1
1 a
b = a .
38
Pentru i?{2,...,m} inmultim ecuatia (3) cu (0)
i1 a si o scadem din linia i a
sistemului (2). Obtinem sistemul:
(1) (1)
2
(1)
2
) 1(2
) 1(2 2
(1)
22
1
(1)
2 1
(1)
1 12
...
...
...
m mm m m
m m
m m
a x a x a
a x a x a
x a x a x b
+ + =
+ + =
+ + + =
?
(4)
unde
(0) (1)
1
(1) (0)
ij ij i ij a = a - a a , i, j ?{2,...,m}
1
(0)
1
a(1) a(0) a b i i i = - , i?{2,...,m}
Determinantul matricii sistemului format cu ultimele n -1 linii ale
sistemului (4) este nenul, caci, in caz contrar, ar rezulta det A = 0 .
Procedeul aplicat in prima etapa se poate aplica sistemului
(1) (1)
2
(1)
2
) 1(2
) 1(2 2
(1)
22
...
...
m mm m m
m m
a x a x a
a x a x a
+ + =
+ + =
?
Dupa m pasi se ajunge la sistemul
m m
m m
m m
x b
x a x a x b
x a x a x b
=
+ + + =
+ + + =
?
2
) 2 (
2 3
(2)
2 23
1
(1)
2 1
(1)
1 12
...
...
(5)
Sistemul (5) este atunci echivalent cu (1) si din m m x = b obtinem succesiv
?+
=
= -
m
j i
j
i
i i ij x b a x
1
( ) , i?{m -1,...,1}
Observatie. In procedeul prezentat, s-au permutat numai linii si se spune
ca rezolvarea s-a facut prin pivotare partiala. Daca se permuta si coloane, se poate
realiza ca la fiecare pas sa se obtina un sistem in care coeficientul pivot sa fie cel
mai mare in modul printre coeficientii sistemului (se spune ca rezolvarea s-a facut
prin pivotare totala). Se incearca prin aceasta sa se evite impartiri la numere mici,
caz in care erorile de rotunjire pot fi mai mari.
Exemplu. Folosind metoda lui Gauss sa se rezolve sistemul:
Gh. Grigore, Lectii de analiza numerica, Editura Universitatii Bucuresti, 1992.
2. B. Demidovici, I. Maron, Elements de calcul numerique, Edition Mir, Moscou,
1973.
3. Gh. Marinescu, Gh. Grigore s.a., Probleme de analiza numerica, Editura
Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
