Analiză matematică

Siruri de numere reale

(recapitulare si completari)

Defini,tie

f : N - N, sir de numere reale a0 = f (0), a1 = f (1), ,an = f (n),

(an)n- N

(an)n- p

(an)n- N - monoton - sgn(an+1 - an) e constant, (- ) n > p

an+1 - an > 0, (an > 0)

an+1

an - 1 > 0

(6)

(an)n- N - marginit - (- ) A, B - R a.i. an - [A, B] , (- ) n - N

(- ) M > 0 a.i.an- 6 M, (- ) n - N

Convergen,ta

(an)n- N - convergent - (- ) l > 0 a.i.(- ) - > 0 , (- ) n- - N a.i.(- ) n > n- are loc

an - l- < -

- - < an - l < -

exemplu: q - (- 1, 1) , lim

n- -

qn = 0

l=0

Fie - > 0, - qn - 0- < - ;

- qn- < - - logaritmam

n ln - q- < ln - - : ln- q-

n > ln -

ln- q-

, ln - q- < 0

.n- =

h

ln -

ln- q-

i

+ 1

seminar- teorema clestelui: (xn) , (yn) , (an) siruri de numere reale, a.i. xn 6

an 6 yn

si (xn)- convergent cu lim xn

n- -

= l si (yn)- convergent cu lim yn

n- -

= l ; atunci sirul

(an)- convergent si lim an

n- -

= l

Teorema

(an) - monoton

(an) - marginit

-

- (an)- convergent

! Reciproca este falsa

[an = (- 1)n

n , este convergent si are limita 0, ceea ce este evident, dar nu este

monoton; an+1 - an = (- 1)n+1

n+1 - (- 1)n

n = (- 1)n

-

- 1

n+1 - 1

n

-

nu are semn

constant]

1

Obs: Daca (an) - convergent =- (an) - marginit.

Dem: (an) - conv.=- (- ) - > 0, (- ) n- a.i.(- ) n > n- are locan - l- < -

Fie - = 1 =- (- ) n1 a.i.(- ) n > n1 avem an - l- < 1, sau l - 1 < an < l + 1

- siruri nemarginite

lim

n

an = - - - (- ) M > 0, (- ) nM a.i.(- ) n > nM are loc an > M

lim

n

an = - - - - (- ) M > 0, (- ) nM a.i.(- ) n > nM are loc an < - M

- siruri fundamentale ( siruri Cauchy)

(an) - fundamental sau Cauchy- - (- ) - > 0, (- )n- a.i.(- )n, m > n- areloc

an - am- < - , sau

o formulare echivalenta:(- ) - > 0, (- )n- a.i.(- )n > n- (- ) p - N areloc an+p - an- <

-

Obs. 1) (an) - convergent=- (an) - fundamental

Dem:(an) - convergent=- (- ) l - R a.i.(- ) - > 0, (- ) n- : (- ) n > n- are loc

an - l- < -

2 ;

Fie n > n- =- an+p - an- = an+p - l + l - an- 6 an+p - l- + - l - an- <

-

2 + -

2 = - , p - N;=- (an) - fundamental

Obs. 2) Reciproca teoremei precedente este in general falsa.

Exemplu: an = [10n.- ]

10n este un sir de numere ra,tionale

a1 = [10.- ]

10 = [31,4159 ]

10 = 31

10 = 3, 1

a2 =

[102.- ]

102 = 3, 14,

.

.

.

an = aproximarea lui - cu n zecimale exacte prin lipsa

.

.

(an) - fundamental

an+p - an- = 0, - 00{.z 0}

n

.- { z }.

p zecimale

< 10- n < - , (- ) n > n-

lim

n

an = - /- Q

(an) - sir fundamental de numere ra,tionale care nu este convergent in Q.

Obs. 3) Pentru a stabili cu precizie legatura intre convergen,ta si proprieta,tile lui

Cauchy trebuie sa avem in vedere spa,tiul caruia ii apar,tin termenii sirului. In exemplul

precedent (an) e un sir fundamental in Q fara a fi insa convergent (in Q). In R orice

sir fundamental este convergent.

2

Lema lui Cesaro

Daca (an) e un sir de numere reale, care estemarginit, atunci (an) con,tine un subsir

convergent [ adica (- ) (ank )k- N - (an) a.i.(ank ) este convergent]

Dem. Principiul injumata,tirii intervalului

Pentru siruri constante concluzia din lema este verificata; presupunem in continuare

ca

(*) (an) are un numar infinit de termeni diferi,ti intre ei.

(an) - marginit =- (- ) x, y - R a.i. an - [x, y]

Prin ipoteza (*) cel pu,tin unul din intervalele

-

x, x+y

2

-

sau

- x+y

2 , y

-

con,tine o infinitate

de termeni ai sirului; notam x1 = x, y1 = x+y

2 sau x1 = x+y

2 , y1 = y ; intervalul

[x1, y1] con,tine o infinitate de termeni ai sirului (an) si diferen,ta y1 - x1 = y- x

2 Fie

an1 - [x1, y1]

Prin ipoteza (*) cel pu,tin unul din intervalele

-

x1, x1+y1

2

-

sau

- x1+y1

2 , y1

-

con,tine o

infinitate de termeni ai sirului (an) ;notam x2 = x1, y2 = x1+y1

2 sau x2 = x1+y1

2 , y2 =

y1 ; intervalul [x2, y2] con,tine o infinitate de termeni ai sirului (an) si diferen,ta y1 - x1 = y- x

2 Fie an2 - [x2, y2] iar diferen,ta y2 - x2 = y- x

22

.

.

.

In final: [xk, yk] , ank - [xk, yk] si diferen,ta yk - xk = y- x

2k ; are loc sirul de

inegalita,ti:

x 6 x 6 x 6 6 x 6 ank 6 y 6 y 6 6 y2 6 y1 6 y.

Pentru ca sirul (xk) este crescator si marginit, rezulta ca este convergent; lim

k

xk =

x0

Pentru ca sirul (yk) este descrescator simarginit, rezulta ca este convergent; lim

k

yk =

y0

xk 6 yk =- x0 6 y0

y0 - x0 = y0 - yk + yk - xk + xk - x0 6

- - -

y0 -

yk

- - -

- {z }

- 0

+ - - yk {- zxk}-

- 0

+

- - -

xk -

x0

- - -

- {z }

- 0

=- y0 = x0

Din criteriul clestelui, subsirul ( ank ) este convergent la x0

Teorema lui Cauchy

Orice sir fundamental de numere reale este convergent in R.

Dem. Fie (an) - R - un sir fundamental, adica (- ) - > 0, (- ) n- a.i.(- ) n >

n- (- ) p - N