ALGEBRĂ LINIARĂ
CAPITOLUL 1
SPAŢII VECTORIALE
§1. Spaţii vectoriale
Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care
serveşte disciplinelor tehnice si economice.
Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Un triplet format
din:
-o mulţime nevidă V
-o lege de compoziţie internă, definită pe V, notată aditiv
+ : V ×V →V
(u, v)→ u + v , ∀ u,v∈V
-o lege de compoziţie externă
⋅ : K×V → V
(α,u)→ α⋅ u, ∀ α,v∈V
se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial), dacă verifică
următoarele axiome:
(V1) (V,+) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ )
(V2) α ⋅(u + v)= α ⋅ u + α ⋅ v ∀u, v ∈ V, ∀α ∈K
(V3) (α + β)⋅ u = α ⋅ u + β ⋅ u ∀ u ∈ V, ∀α,β ∈K
(V4) ( ) ( )u α ⋅ β ⋅u = αβ ⋅ ∀ u∈V , ∀α,β ∈ K
(V5) 1K ⋅ u = u ∀u ∈V
Dacă K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu vectorial real (respectiv
complex).
Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se
numesc scalari.
Propoziţia 1.1. Fie V un K-spaţiu vectorial. Atunci sunt adevărate următoarele
afirmaţii:
2) ( - ) u u - v , K u V
1) (u - v) u - v K u, v V
α β ⋅ = α ⋅ β ⋅ ∀α β ∈ ∀ ∈
α ⋅ = α ⋅ α ⋅ ∀α ∈ ∀ ∈
3) α ⋅ θ = θ ∀α ∈K
4) 0k ⋅ u = θ ∀ u ∈V
5) (−1K ) ⋅ u = −u ∀u ∈V
6) dacă α ⋅u = θ , atunci α = 0K sau u = θ .
Exemple.
1. Spaţiul aritmetic K n cu n dimensiuni
Fie K un corp comutativ oarecare şi n∈N un număr natural nenul.
Vom considera produsul cartezian
K n = 1442443
n ori
K K K
−
× ×....×
unde elementele lui Kn sunt de forma (xi ) = (x1, x2 ...xn ) şi se numesc n-uple ordonate.
Produsul cartezian K n poate fi dotat cu o structură de spaţiu vectorial peste corpul
K, dacă se definesc pe K n :
-o lege de compoziţie aditivă, internă, prin:
( ),( ) (xi ) ( i ) ( i i )
n
∀ xi yi ∈ K + y = x + y
-o lege de compoziţie externă peste K prin:
∀(xi ) ∈K, ∀α ∈K α ⋅ (xi ) = (αxi ) .
Se verifică uşor că aceste legi de compoziţie determină pe K n o structură de spaţiu
vectorial peste K. K-spaţiul vectorial (K n ,+,⋅) se numeşte spaţiul aritmetic (standard) cu n
dimensiuni.
2. Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente reale , formează un
spaţiu liniar real, notat Mmxn (R). Operaţiile acestui spaţiu liniar sunt: adunarea matricelor
şi înmulţirea dintre un număr real şi o matrice.
3. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, împreună cu adunarea
polinoamelor şi înmulţirea unui număr real cu un polinom formează un spaţiu vectorial
real,notat C[X].
4. Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali constituie un spaţiu
vectorial real notat P [X] n , cu legile de compoziţie din exemplul 3.
Definiţia 1.2. Fie v1,v2 ...vn ∈V , n vectori din K-spaţiul vectorial V şi α1, α2 ...αn ∈ K.
Vectorul n nv v v v α + + α + α = ... 2 2 1 1 ⎟
se numeşte combinaţia liniară a
vectorilor v1,...,vn .
§ 2. Subspaţii vectoriale (liniare)
Fie K-spaţiul vectorial V.
Definiţia 2.1. O submulţime nevidă W ⊆ V se numeşte subspaţiu vectorial
(liniar) a lui V dacă:
1) ∀ u,v ∈W u + v ∈W
2) ∀α ∈ K ,∀u ∈W α ⋅u∈W
Definiţia 2.2. O submulţime nevidă W⊆V se numeşte subspaţiu vectorial (liniar) al
lui V dacă:
∀ u,v ∈W , ∀α, β∈K, α ⋅ u + β ⋅ v ∈W.
Observaţii
1) Cele două definiţii de mai sus sunt echivalente şi deci în aplicaţii poate fi verificată
oricare dintre ele.
2) Deoarece adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari, pe W sunt restricţii ale
operaţiilor din V, atunci W împreună cu aceste legi de compoziţie verifică toate axiomele
spaţiului vectorial.
Se poate da o definiţie echivalentă cu cele de mai sus:
Definiţia 2.3. W⊆V este subspaţiu vectorial a lui V dacă şi numai dacă W este
spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile din V.
Curs Algebra si Geometrie pentru inginerie economica, inginerie mecanica.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
