Capitolul I
Vectori liberi
1. Vectori liberi
Fie 3 E spaNiul tridimensional al geometriei elementare, spaNiu conceput ca o
mulNime de puncte si in care sunt valabile axiomele lui Euclid.
DefiniNii 1.1: Se numeste vector legat sau segment orientat o pereche
ordonata de puncte (A,B)I E3 x E3
fig. 1
Punctul A se numeste originea, iar B varful sau extremitatea vectorului legat
(A,B).
Daca A ? B , atunci dreapta determinata de punctele A si B se numeste
direcNia vectorului legat (A,B). Daca A = B , atunci obNinem vectorul legat (A,A),
numit vector legat nul. DirecNia oricarui vector legat nul este nedeterminata.
Se numeste lungime sau norma sau modul a unui vector legat (A,B) numarul
real pozitiv care reprezinta distanNa dintre punctele A si B (relativa la o unitate de
masura fixata).
Evident, un vector legat este nul daca si numai daca lungimea lui este zero.
DefiniNii1.2: Fie (A,B) si (C,D) doi vectori legaNi nenuli.
A
B
2
1. Spunem ca (A,B) si (C,D) au aceeasi direcNie daca dreptele lor suport sunt
paralele. In cazul particular in care dreptele suport coincid, vom spune ca vectorii
legaNi sunt coliniari.
2. Daca A,B,C,D sunt puncte necoliniare, vectorii legaNi (A,B) si (C,D) au
aceeasi direcNie, iar punctele B si D se afla de aceeasi parte a dreptei AC, vom spune
ca (A,B) si (C,D) au acelasi sens (fig. 2). Daca A,B,C,D sunt puncte coliniare si exista
doua puncte E, F, nesituate pe dreapta determinata de cele patru puncte iniNiale,
astfel incat vectorul legat (E,F) are acelasi sens si cu (A,B) si cu (C,D), vom spune ca
(A,B) si (C,D) au acelasi sens. Doi vectori care au aceeasi direcNie dar nu au acelasi
sens, se spune ca au sensuri opuse.
fig. 2
DefiniNia 1.3: Doi vectori legaNi (A,B) si (C,D) se numesc echipolenNi si vom
nota (A,B)~(C,D), daca au acelasi sens si aceeasi lungime sau, echivalent, daca
segmentele [AD] si [BC] au acelasi mijloc.
fig. 3
ObservaNie: Se poate verifica fara dificultate ca relaNia de echipolenNa pe
mulNimea vectorilor legaNi are proprietaNile:
1. este reflexiva: (A,B)~(A,B);
2. este simetrica: daca (A,B)~(C,D), atunci si (C,D)~(A,B);
3. este tranzitiva: daca (A,B)~(C,D) si (C,D)~(E,F), atunci (A,B)~(E,F).
Astfel, putem afirma ca echipolenNa vectorilor legaNi este o relaNie de echivalenNa.
RelaNia de echipolenNa poate fi extinsa si la vectorii legaNi nuli: orice doi
vectori legaNi nuli sunt echipolenNi intre ei.
A C
B D
A
B
C
D
3
Fiind dat vectorul legat (A,B), exista o infinitate de vectori legaNi echipolenNi
cu (A,B) (practic, cu originea in orice punct al spaNiului 3 E putem construi un vector
echipolent cu (A,B) si numai unul).
DefiniNia 1.4: Clasele de echivalenNa ale vectorilor legaNi, relativ la relaNia de
echipolenNa, se numesc vectori liberi. Cu alte cuvinte, un vector liber reprezinta
mulNimea tuturor vectorilor legaNi echipolenNi cu un vector legat dat. Daca (A,B) este
un vector legat, atunci vom nota cu AB vectorul liber corespunzator, adica
[1] M. Abramowitz, I.A. Stegun - Handbook of mathematical functions, Dover Publications, 1972
[2] Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache - Algebra liniara, geometrie analitica si diferenNiala, ecuaNii diferenNiale, Editura All, 1994
[3] V. Balan - Algebra liniara, geometrie analitica, Editura Fair Partners, 1999
[4] V. Brinzanescu, O. Stanasila - Matematici speciale, Editura All, 1998
[5] T.S. Chihara - An introduction to orthogonal polynomials, Gordon & Breach, 1978
[6] C. Costinescu - Algebra liniara si aplicaNii in geometrie, Editura Matrix Rom, 2005
[7] V. Efimov - Elements de geometrie analitique, Edition MIR, Moscou, 1969
[8] D. Faddeev, I. Sominski - Recueil d'exercices d'algebre superieure, Edition MIR, Moscou, 1972
[9] G. Groza - Analiza numerica, Editura Matrix Rom, 2005
[10] G. Golub, C. Van Loan - Calcul matricial, Editua Theta, 2005
[11] R. Horn, C. Johnson - Analiza matriciala, Editua Theta, 2001
[12] D. Lay - Linear algebra and its applications, Addison-Wesley Publishing, 2003
[13] A.F. Nikiforov, S.K. Suslov, V.B. Uvarov - Classical orthogonal polynomials of a discrete variable, Springer-Verlag, 1992
[14] M. Pavel - Algebra liniara, geometrie analitica si diferenNiala, Vol. 1, Editura Agir, Bucuresti, 2002
[15] G. Paltineanu, S. Donescu - Algebra liniara, Editura Matrix Rom, 2007
[16] G. Paltineanu, M. Pavel, R. Trandafir - Bazele analizei numerice, Editura Printech, 2001
[17] A. Popescu - Algebra liniara si aplicaNii, Editura UniversitaNii Bucuresti, 1999
[18] Gh.D. Simionescu - NoNiuni de algebra vectoriala si aplicaNii in geometrie, Editura Tehnica, 1983
[19] D. Smaranda, N. Soare - Transformari geometrice, Editura Academiei Romane, 1988
[20] G. Strang - Linear algebra and its applications, Thomson Learning, 1988
[21] C. Udriste - Probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferenNiala, Editura Didactica si pedagogica, 1976
[22] M. Voicu, G. Groza, V. Marinescu - Algebra liniara, geometrie analitica si diferenNiala, Editura ICB, 1988
[23] V. Voievodine - Principes numeriques d'algebre lineaire, Edition MIR, Moscou, 1977
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
