Consideram sistemul liniar de m ecuatii cu n necunoscute
sau scris matriceal
Numim
o matricea coeficientilor sistemului
o determinantul sistemului
o coloana necunoscutelor sistemului
o coloana termenilor liberi
o rang rang rangul sistemului
o matricea extinsa a sistemului
Natura sistemului
Sistemul este numit
o compatibil cand are cel putin o solutie
- compatibil determinat cand are solutie unica
- compatibil nedeterminat cand are cel putin doua solutii
o incompatibil cand nu are solutii
Rezolvarea sistemului
o daca solutia (unica) a sistemului este data de Teorema lui Cramer: ..., unde este determinantul care se obtine din , inlocuind coloana coeficientilor lui cu coloana termenilor liberi, .
Solutia se poate scrie si matriceal
o daca
Etapa 1. Se calculeaza rang .
Etapa 2. Se alege un determinant principal al sistemului , adica un minor de ordinul r al lui A, astfel incat Rezulta astfel ecuatii principale (cele ale caror coeficienti apar in ) si necunoscute principale (cele care au coeficienti care apar in ).
Etapa 3. Natura sistemului este data de una din teoremele:
Teorema Kronecker-Capelli: este compatibil rang = rang .
Teorema lui Rouche: este compatibil totii determinantii caracteristici sunt nuli.
Etapa 4. Rezolvarea sistemului: sistemul are aceleasi solutii cu sistemul asociat , obtinut din retinand doar ecuatiile principale in care au fost trecute in membrul drept eventualele necunoscute secundare. Sistemul are ca determinant chiar , deci este sistem Cramer. Cele r solutii ale sistemului depind de parametrii .
Metoda lui Gauss
Consideram sistemul compatibil determinat cu
, , cu
Deoarece in cele mai multe cazuri matricea A are numar mare de linii si coloane, iar calculul matricei este dificil si acumuleaza erori, se impun metode directe si metode iterative pentru rezolvarea acestor sisteme.
Metoda lui Gauss presupune transformarea sistemului intr-un sistem superior triunghiular
si apoi rezolvarea acestuia prin substitutie inversa.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
