Oscilații și unde

Una dintre cele mai importante miscari cunoscute in natura este miscarea oscilatorie.

O miscare periodica, ce se reia cu regularitate la intervale egale de timp se numeste miscare

oscilatorie. Ea apare in urma aplicarii unei mici perturbauii unui sistem, aflat iniuial in echilibru

stabil.

Miscari oscilatorii se intalnesc in natura intr-o mare diversitate de sisteme (fizice, chimice,

biologice etc). In fizica sunt cunoscute sisteme oscilante de natura si dimensiuni spauiale

foarte diferite. Miscari oscilatorii executa, de exemplu, ionii reuelei cristaline dintr-un solid,

dar si anumite stele duble. Miscari oscilatorii pot fi efectuate, in anumite condiuii, de catre

componentele atomilor sau nucleelor, dar si de catre unele sisteme stelare.

Modele operauional simple de sisteme oscilante sunt pendulul matematic si pendulul elastic.

In primul caz este vorba de un corp de mici dimensiuni, suspendat in campul gravitauional

de un fir sau o tija de masa neglijabila, inextensibila. In al doilea caz este vorba de un corp

legat de capatul unui resort de masa neglijabila. Resortul si corpul sunt plasate, fie in campul

gravitauional terestru, fie pe un suport orizontal, in absenua frecarilor.

Desi natura fizica a oscilatorilor este foarte diferita, exista o serie de caracteristici generale

ale miscarii oscilatorii, care se regasesc in cazul tuturor sistemelor oscilante. Asa cum vom

vedea ulterior, folosind un aparat matematic relativ simplu, se pot defini cateva marimi adimensionale

ce caracterizeaza orice tip de oscilator. Mai mult decat atat, se pot stabili o serie

de analogii intre marimi de natura diferita, specifice unor oscilatori de natura diferita1 si se

pot scrie direct o serie de rezultate, plecandu-se de la oricare din domeniile in care astfel de

sisteme oscilante sunt studiate.

1.1 Oscilauii liniare libere

Sa consideram unul dintre cele mai simple exemple de sisteme mecanice oscilante, cel al

unui corp de masa m fixat de un perete rigid printr-un resort de constanta elastica k, in absenua

1In decursul acestui capitol vom discuta, de exemplu, o analogie mecano-electrica, pe baza careia se pot

defini o serie de marimi noi in mecanica, plecand de la marimi foarte cunoscute in electricitate.

1

2 Capitolul 1. Miscarea oscilatorie

Figura 1.1: Un pendul elastic, constituit dintr-un corp de masa m, cuplat cu un resort de constanta

elastica k.

frecarii (vezi Fig.1.1). Vom nota deplasarea faua de poziuia de echilibru2, la momentul de timp

t, cu x(t). Forua elastica ( ~ Fe) este singura forua necompensata, intrucat greutatea corpului de

masa m (~ G) este anulata de catre reacuiunea normala din partea planului. Aplicand principiul

al II-lea al dinamicii, gasim ecuauia diferenuiala a miscarii:

m

::

x (t) = ?kx(t): (1.1)

Semnul minus din expresia foruei indica faptul ca forua elastica dezvoltata in resort tinde sa

micsoreze deformauia resortului. Trecand totul in membrul stang al ecuauiei precedente si

imparuind prin m se obuine:

Ax(t) + !2

0x(t) = 0: (1.2)

Marimea !0, definita de relauia:

!0 = Ek

m

(1.3)

se numeste pulsauia proprie a miscarii3. Dupa cum rezulta si din modul in care a fost definita,

pulsauia proprie este o marime specifica oscilatorului. Ea nu depinde de regimul in care acesta

se misca, fiind un fel de "carte de identitate" a oricarui oscilator.

O alta marime specifica miscarii oscilatorii este frecvenua proprie a acestuia, notata cu ?.

Ea reprezinta numarul de oscilauii complete ce se produc in interval de 1s. Unitatea de masura

a frecvenuei este s?1 sau Hertz (Hz).

Pulsauia !0 este numarul de oscilauii complete ce se produc in 2 1/4 secunde. Unitatea de

masura a pulsauiei este rad s?1. Intre cele doua marimi exista relauia:

!0 = 2 1/4 ?: (1.4)

2Perturbauia faua de starea de echilibru poate fi, in general, o distanua, un unghi, dar si o sarcina electrica

deplasata intr-un circuit, o concentrauie, un potenuial etc.

3Uneori, pulsauia miscarii se mai numeste si frecvenua unghiulara, desi cele doua marimi difera printr-un

factor de 2 1/4 .

1.1. Oscilauii liniare libere 3

Relauia (1.1) ne permite sa interpretam patratului pulsauiei proprii, ca forua ce acuioneaza

asupra unitauii de masa, pe unitatea de deplasare, !2 = k=m = F=m=x.

Perioada proprie a miscarii reprezinta timpul in care are loc o oscilauie completa a sistemului.

Expresia ei este:

T0 =

2 1/4

!0

= 2 1/4 Em

k

: (1.5)

In cazul micilor oscilauii, perioada miscarii nu depinde de amplitudinea acestora, de aceea se

spune ca micile oscilauii sunt izocrone.

Este foarte usor de verificat ca ecuauia (1.2) admite o soluuie de forma:

x(t) = Acos !0t + B sin !0t: (1.6)

Constantele A si B se determina din condiuiile iniuiale ale elongauiei si, respectiv, vitezei:

A = x(0); (1.7)

B = !0

:x

(0) : (1.8)

Exista mai multe modalitaui de exprimare a soluuiei ecuauiei (1.2). De exemplu, inlocuind

constantele A si B din ecuauia (1.6) cu alte doua constante, C si ', definite prin relauia:

A = C cos '; (1.9)

B = C sin ';

se poate exprima legea de miscare x(t) sub forma unei singure funcuii armonice, de amplitudine

C si faza iniuiala ':

x(t) = C cos(!0t ? '): (1.10)

O a treia posibilitate de exprimare a soluuiei, cea mai comoda din punct de vedere al

calculului matematic, este cea in care se folosesc numere complexe. Forma funcuiei de variabila

complexa care descrie miscarea este sugerata de constatarile experimentale, care arata ca atat

elongauia x, cat si derivatele sale de ordinul I si ordinul II respecta acelasi tip de dependenua

temporala. Evident, o dependenua avand in expresia sa funcuia exponenuiala ex ar putea fi o

soluuie particulara a ecuauiei diferenuiale (1.2). Asadar, se alege drept soluuie funcuia:

x(t) = Ce,t: (1.11)

Vom calcula acum derivata a doua a lui x(t) si o vom inlocui, impreuna cu x(t) in ecuauia

(1.2). Se observa ca ambii termeni din ecuauia ce se obuine in urma acestei inlocuiri, au factor

comun cantitatea Ce,t, adica x(t). Cum ne intereseaza sa gasim o soluuie ne-banala, Ce,t 6= 0,

rezulta ecuauia algebrica:

,2 + !2

0 = 0; (1.12)

numita ecuauia caracteristica asociata ecuauiei diferenuiale (1.2) . Rezolvarea