Funcții matematice în fiabilitate

In majoritatea cazurilor, sunt folosite metodele indirecte de calcul ce permit aflarea probabilitatilor unui eveniment pe baza probabilitatilor deja cunoscute ale altor evenimente legate de evenimentul studiat. Teoria probabilitatilor se reduce, in mare, la un sistem de metode indirecte pe baza carora necesitatea experimentarii este minima.

Teoreme si relatii referitoare la intersectia si reuniunea multimilor

Avand doua evenimente A si B compatibile si independente, probabilitatea ca sa avem un eveniment este:

.

Daca avem evenimente dependente, o sa avem relatia:

, unde este probabilitatea evenimentului B conditionat de A.

Daca avem n evenimente dependente relatia se scrie:

Reuniunea a doua evenimente A si B compatibile si dependente este:

.

Formula probabilitatilor totale

Ex:x1x2x3- aparate (1,2,3)

P(Xi)30%20%50% - productie piese

P(A/Xi)2%3%1% - rebuturi

- multimea totala a evenimentelor; Xi - evenimentul care se produce impreuna cu defectul corespunzator A:

.

Stim ca intersectia a doua sau mai multe evenimente incompatibile este

Atunci:

Deoarece evenimentele Xi si A sunt compatibile si dependente:

Inlocuind, se obtine:

si

Deci,

Teorema ipotezelor (BAYES)

Pornim de la un sistem de evenimente incompatibile: H1, H2, ,Hn.

,

Evenimentele H1, H2, ,Hn reprezinta cauzele unui eveniment A. Presupunem ca evenimentul A se intampla si ca sunt date probabilitatile ipotezelor si

Stim ca (datorita comutativitatii intersectiei evenimentelor):

Aceasta este teorema ipotezelor sau formula lui BAYES:

.

Exemplu:

Presupunem ca 40% din totalul de piese care ies dintr-o fabrica sunt produse in atelierul A si restul de 60% in atelierul B. Presupunem, de asemenea, ca 14 piese din 1000 produse in atelierul A sunt defecte si 6 piese din 1000 produse in atelierul B sunt defecte. Piesele au fost amestecate si transportate la un depozit de unde un client cumpara o piesa defecta. Care este probabilitatea ca piesa defecta sa provina de la atelierul B?

- Probabilitatea ca piesa sa fie din atelierul A

- Daca este din atelierul A, probabilitatea ca piesa sa fie defecta

- probabilitatea ca piesa provine din A si este defecta

Analog:

Raportul celor doua probabilitati:

de unde rezulta ca daca piesa cumparata din intreg ansamblul este defecta, probabilitatea ca sa provina din atelierul B este:

Variabile aleatoare discrete

Avem o variabila X care, in urma experientelor, ia valorile - x1, x2, , xn;

P(X)- P(x1), P(x2), , P(xn);

p1, p2, , pn; ;

Sub forma de matrice:

;x1, , xn - valorile pe care le poate lua variabila

p1, , pn - probabilitatile acestor valori;

Enumerarea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare si ale probabilitatilor respective se numeste repartitie.

- functia de probabilitate (forma analitica a legii de repartitie); ;

- functia de repartitie.