Capitolul 1
Elemente de algebră liniară
1.1 Matrice
1.1.1 Definiţii. Exemple
Definiţia 1.1.1 (Matrice): Fie R un inel. Se numeşte matrice cu m
linii şi n coloane cu elemente din R un tablou de forma:
=
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
, unde aij ∈ R.
Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din
R se notează: Mm,n(R). În cazul în care numărul de linii este egal
cu numărul de coloane, matricea se numeşte pătratică. Mulţimea
matricelor pătratice cu n linii şi n coloane se notează Mn(R).
Matricele se notează cu litere mari ale alfabetului latin.
Exemplul 1.1.2 (Matrice de diferite tipuri): Matricea A are 2 linii
şi 3 coloane, A ∈ M2,3(R); matricea B ∈ M5,3(R); matricea C ∈
M4,1(R) şi C se mai numeşte matrice coloană, matricea D ∈
7
M1,3(R) şi se mai numeşte matrice linie, iar matricea E ∈ M2(R),
fiind o matrice pătratică.
( )
8 0
3 4
0 2 3 ;
;
3
2
9
4
;
2 3 5
10 4 9
7 2 6
6 4 1
11 0 8
;
5 0 1
2 3 4
−
= − =
−
=
− −
− −
−
−
=
−
−
=
D E
A B C
O matrice care are o singură linie se numeşte matrice linie,
iar o matrice care are o singură coloană se numeşte matrice
coloană.
Matrice diagonală este o matrice care are elemente nenule
numai pe diagonala principală, celelalte elemente fiind egale cu 0.
Matrice triunghiulară. O matrice care are toate elementele
de sub diagonala principală egale cu zero se numeşte
triunghiulară superior, adică aij = 0, pentru i > j. O matrice care
are toate elementele de deasupra diagonalei principale egale cu
zero se numeşte triunghiulară inferior, adică aij = 0, pentru i < j.
1.1.2 Operaţii cu matrice
1.1.2.1 Adunarea matricelor
Definiţia 1.1.3: Fie matricele A şi B ∈ Mm,n(R). Matricea A + B se
defineşte astfel:
8
1 1 2 2
21 21 22 22 2 2
11 11 12 12 1 1
1 2
21 22 2
11 12 1
1 2
21 22 2
11 12 1
+ + +
+ + +
+ + +
+ =
= =
m m m m mn mn
n n
n n
m m mn
n
n
m m mn
n
n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A B
b b b
b b b
b b b
B
a a a
a a a
a a a
A
Observaţia 1.1.4: Două matrice se pot aduna numai dacă sunt de
acelaşi tip, adică au acelaşi număr de linii, respectiv coloane şi au
elementele din acelaşi inel.
Exemplul 1.1.5: Fie matricele A şi B ∈ M3,2(Q),
.
5 10
5 14
1 9
3 2 0 10
11 6 23 9
2 3 5 4
, atunci :
2 10
6 9
3 4
şi
3 0
11 23
2 5
−
A = B A B
Proprietăţile adunării
1. Asociativitatea : Oricare ar fi matricele A, B, C ∈ Mm,n(R),
(A + B) + C = A + (B + C).
Această proprietate rezultă din faptul că R este un inel, unde
operaţia
aditivă este asociativă şi atunci: oricare ar fi aij, bij, cij, cu 1 ≤ i ≤
m şi
1 ≤ j ≤ n elementele matricelor A, B şi C,
(aij + bij) + cij = aij + (bij + cij).
2. Comutativitatea: Oricare ar fi matricele A şi B ∈ Mm,n(R),
matematica
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
