Teoria sistemelor

1. Raspunsul in domeniul timp

Evolutia in timp a unui sistem dinamic liniar continuu, invariant in timp, reprezentat

prin ecuatiile matriciale intrare - stare - iesire:

x? x u, ; ;

y x u x y u = + n p m

= +

???

A B ?R ?R ?R

C D (1)

pe intervalul t >= 0 este cauzata fie de asocierea unor conditi initiale pentru

variabilele de stare x(0) ? 0 (corespunzand unor acumulari energetice in sistem

anterioare momentului de timp t = 0 ), fie de excitarea externa a sistemului prin

intermediul semnalelor de intrare u(t ) ? 0

Corespunzator se definesc urmatoarele componente ale raspunsului in domeniul

timp:

- raspunsul liber:este reprezentat de evolutia temporala a starii xl(t), respectiv a

iesirii yl(t) (ca functii de timp vectoriale) in conditiile izolarii sistemului de mediul

exterior, u(t ) = 0; raspunsul liber este determinat analitic cu ajutorul relatiei:

( ) ( ), 0

( ) ( ) (0), 0

= ? >=

= ? >=

y t x t t

x t t x t

l

l

C

(2)

unde ?(t ) = eAt defineste matricea de tranzitie a starii.

Remarcabil este faptul ca forma evolutiei libere a sistemului este determinata explicit

de conditiile initiale asociate starii, x(0), respectiv de parametrii sistemului, esentiale

fiind valorile proprii ale matricii de evolutie A:

{?i ?C,i = 1,..,n det(In?i - A) = 0} (3)

(4)

unde qi este ordinul de multiplicitate algebrica a valorii proprii ?i , iar r este numarul

de valori proprii distincte.

- raspunsul fortat: defineste evolutia temporala a starii xf(t), respectiv a iesirii yf(t)

(ca functii vectoriale) asociata unui sistem aflat la momentul t = 0 in repaus ( x(0) =

0) si excitat extern de catre semnalele de intrare u(t ) ? 0,t > 0; determinarea

analitica a raspunsului fortat face apel la relatiile:

( ) ( ) ( ), 0

( ) ( )d , 0

0

( )

= + >

= ? -? ? ? >

y t x t u t t

x t e u t

f f

t

t

f

C D

A B

(5)

Actiunea simultana a conditiilor initiale nenule x(0) ? 0 si a excitatiei externe

u(t ) ? 0,t > 0 determina coexistenta celor doua componente in raspunsul sistemului:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t y t y t

x t x t x t

l f

l f

= +

= +

(6)

Determinarea raspunsului in domeniul timpului joaca un rol important in faza de

analiza a sistemelor dinamice liniare, punand in evidenta o serie de proprietati ale

sistemului, aparent mascate de reprezentarea abstracta (1). Evidentierea acestor

proprietati se face explicit pe cele doua regimuri temporale specifice raspunsului in

timp al sistemului:

- regimul tranzitoriu: este o expresie a modificarii echilibrului (energetic) intern al

sistemului; in cazul sistemelor stabile evolutia se realizeaza in sensul atingerii unei

noi stari de echilibru, ceea ce corespunde formal unei durate finite a regimului

tranzitoriu.

- regimul permanent: este expresia dinamica la iesire a marimii de intrare, conform

structurii si parametrilor sistemului, in sensul ca iesirea sistemului este similara ca

forma de unda cu intrarea; evident, in cazul raspunsului liber al sistemelor stabile

regimul permanent corespunde situatiei reinstaurarii starii de repaus in sistem.

In afara situatiilor generale de raspuns al sistemului la semnale oarecare de intrare, in

analiza sistemelor apar anumite raspunsuri tipice dupa cum urmeaza:

Raspunsul indicial este raspunsul in domeniul timpului al unui sistem dinamic in

conditii initiale nule si pentru intrarea treapta unitara; se obisnuieste ca pentru

sistemele cu intrare vectoriala sa se ia in considerare situatiile in care treapta unitara

se aplica pe rand fiecarei intrari scalare, rezultand un set de m raspunsuri indiciale.

Raspunsul la impuls este raspunsul in domeniul timpului, in conditii initiale nule si

pentru intrarea de tip impuls Dirac; si aici se pot considera m raspunsuri

corespunzatoare aplicarii impulsurilor pe fiecare din componentele intrarii.

2. Functii MATLAB pentru calculul raspunsului in domeniul

timpului