INTRODUCERE
Ultimele decenii au fost marcate de progresul mijloacelor de calcul. Asistam la o competitie intre dezvoltarea tehnologica si dezvoltarea aplicatiilor, in particular, a celor numerice. Tehnica de calcul a devenit accesibila pentru categorii tot mai largi de utilizatori. Globalizarea accesului la magistralele informatiilor organizate in reteaua Internet a dat o noua dimensiune utilizarii calculatoarelor, revolutionand domenii intregi de activitate.
Obiectul calculului numeric il reprezinta gasirea unor metode de aproximare eficienta a solutiilor problemelor care pot fi exprimate prin modele matematice, eficienta ce depinde de precizia ceruta pentru rezultate si de usurinta implementarii. Calculul numeric este una dintre disciplinele matematice ce depinde in cea mai mare masura de calculatorul numeric.
Drumul parcurs pentru rezolvarea unei probleme dintr-un domeniu oarecare cu ajutorul calculatorului consta in: stabilirea unui model matematic al problemei concrete (model ce se poate incadra intr-o categorie cum ar fi: o ecuatie neliniara, un sistem de ecuatii liniare sau neliniare), care fiind de multe ori de natura continua trebuie discretizat; solutia problemei discretizate trebuie sa fie consistenta si stabila (robusta); modelul discretizat trebuie transpus intr-un algoritm realizabil si eficient, descris de obicei intr-un limbaj de programare evoluat.
Calculul numeric operand cu marimi variate presupune folosirea tipului real a carui reprezentare in calculator este aproximativa, aparand erori de rotunjire care se propaga. Deci, o metoda numerica trebuie aleasa tinand seama de convergenta, stabilitate, propagarea erorilor si de analiza complexitatii algoritmului asociat.
Pentru parcurgerea si utilizarea unui asemenea material, cititorul are nevoie de cunostinte de matematica la indemana studentilor care au promovat primul an de studiu al oricarei facultati cu profil tehnic, matematico-informatic sau economic.
Metodele numerice sunt prezentate in detaliu, prin discutarea aspectelor de ordin strict matematic si descrierea algoritmilor cu ajutorul unui limbaj de tip pseudocod.
Lucrarea ,,Calcul numeric" are sapte capitole.
Primul capitolul are un caracter eterogen - la inceput se prezinta sursele de erori si propagarea lor, apoi algoritmi si complexitate de calcul, iar in final, metode de programare.
Capitolul al doilea are ca obiect rezolvarea numerica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii algebrice neliniare. Sunt prezentate metode de localizare a solutiei, de aproximatii succesive si de accelerare a convergentei pentru ecuatii neliniare, precum si metode numerice de rezolvare a sistemelor algebrice neliniare.
Capitolul al treilea este dedicat rezolvarii numerice a sistemelor algebrice liniare. Sunt examinate metode directe bazate pe factorizarea gaussiana, precum si metode de aproximare.
In capitolul al patrulea se prezinta metode de tip Jacobi de rezolvare numerica a problemelor algebrice de valori si vectori proprii, precum si generalizarea lor.
In capitolul al cincilea se prezinta aproximarea functiilor prin interpolare de tip Lagrange, Hermite si prin functii spline, precum si aproximarea in sensul celor mai mici patrate.
In cel de al saselea capitol sunt prezentate cateva metode numerice de rezolvare a ecuatiilor cu derivate partiale, iar in utimul capitol sunt prezentate diferite metode pentru integrarea numerica.
CAPITOLUL 1
Erorile de calcul numeric
1.1. Surse de erori
Suntem in posesia unui numar suficient de mare de metode numerice pentru a considera mai in detaliu problema erorilor de calcul numeric. Se observa ca o formula de calcul numeric se aplica de obicei in mod repetat. In consecinta, prezinta importanta nu numai eroarea introdusa intr-o etapa, ci si tendinta de a amplifica sau, dimpotriva, de a atenua erorile introduse anterior, adica stabilitatea metodei numerice.
Erorile inerente sunt erorile legate de cunoasterea aproximativa a unor valori provenite din masuratori sau din faptul ca avem de-a face cu numere irationale. Rezultatul oricaror calcule depinde si de precizia datelor introduse initial. Ca erori inerente pot fi considerate si erorile de conversie facute la trecerea in baza 2 a unor numere care se introduc in memoria calculatoarelor numerice. De exemplu, numarul 0.1 reprezentat printr-un numar finit de zecimale in baza 10, devine o fractie zecimala periodica in baza 2 (0.110 = 0.0(0011)2).
Erorile de metoda sau erorile de trunchiere sunt provenite din aproximatiile facute la deducerea formulelor de calcul. De exemplu, restul la interpolarea polinomiala, distanta la radacina, din metodele iterative de calcul, etc. Spre deosebire de erorile inerente, erorile de metoda pot fi reduse, in principiu, oricat de mult.
Erorile de rotunjire sunt legate de posibilitatile limitate de reprezentare a numerelor in calculatoarele numerice. In calculator se pot reprezenta numere cu un numar de cifre semnificative in functie de lungimea cuvantului (masurata in biti) utilizat la stocarea unui numar.
In memoria interna a unui calculator numeric se foloseste reprezentarea in virgula mobila, in forma normalizata. Orice numar real x se scrie
[1] Bucur,C.M., Metode numerice, Ed. Facla, Timisoara, 1973.
[2] Ciurea,E., Algoritmi Introducere in algoritmica grafurilor, Ed. Tehnica, Bucuresti, 2001.
[3] Coman,G., Analiza numerica, Ed. Libris, Cluj, 1995.
[4] Croitoru,C., Tehnici de baza in optimizarea combinatorie, Ed. Universitatii ,,Al. I. Cuza", Iasi, 1992.
[5] Cuculescu,I., Analiza numerica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1967.
[6] Demidovici,B.P., Maron,I., Elements de calcul numerique, Ed. Mir de Mosou, 1973.
[7] Dodescu,Gh., Toma,M., Metode de calcul numeric, E. D. P., Bucuresti, 1976.
[8] Dodescu,Gh., Metode numerice in algebra, Ed. tehnica, Bucuresti, 1979.
[9] Ichim,I., Marinescu,G., Metode de aproximare numerica, Ed. Academiei R. S. R., Bucuresti, 1986.
[10] Ignat,C., Ilioi,C., Jucan,T., Elemente de informatica si calcul numeric, Univ. ,,Al. I. Cuza", Iasi, Fac. de Matematica, 1989.
[11] Juan Antonio Infante del Rio, Jose Maria Rey Cabezas, Metodos Numericas,Teoria,problemas y practicas conMATLAB, Ed. Piramide, 2002.
[12] Knut,D.E., Sortare si cautare, vol. 3, Tratat de programarea calculatoarelor, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1976.
[13] Livovschi,L., Georgescu,H., Sinteza si analiza algoritmilor, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.
[14] Melhorn,K., Data Structures and Algorithms, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
[15] Mihu,C., Metode numerice in algebra liniara, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1977.
[16] Popovici,P., Cira,O., Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare, Ed. Signata, Timisoara, 1992.
[17] Press,W.H., Teuklosky,S.A., Vetterling,W.T., Flannery,B.P., Numerical Recipes in C: The Art of scientific Computing, (Cambridge University Press, Cambridge, 1992).
[18] Scheiber,E., Metode numerice, Univ. Transilvania din Brasov, Facultatea de Matematica - Informatica, (electronic).
[19] Toma,M., Odagescu,I., Metode numerice si subrutine, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1980.
[20] Vladislav,T., Rasa,I., Analiza numerica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1997.
[21] Vraciu,G., Popa,A., Metode numerice cu aplicatii in tehnica de calcul, Scrisul romanesc, Craiova, 1982.
[22] ***, Borland International, Inc. Borland C++, Programming Guide (Borland International, Scotts wally, CA, 1992).
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
