Sisteme dinamice cu evenimente discrete

Sistemele cu evenimente discrete constituie o clasa de sisteme dinamice neliniare a caror investigatie necesita instrumente matematice proprii, diferite de ecuatiile diferentiale sau a ecuatiile cu diferente, utilizate curent in teoria si practica reglarii automate. In acest capitol vom realiza o prezentare generala a specificului dinamicii sistemelor cu evenimente discrete, evidentiind elementele tipice ce induc diferentele majore fata de comportarile cunoscute drept "clasice" in automatica. De asemenea vom prezenta o clasificare a modelelor si a suporturilor teoretice care au stat la baza dezvoltarii domeniului sistemelor cu evenimente discrete. Aspectele definitorii pentru dinamica sistemelor cu evenimente discrete vor fi comentate prin referiri la modul de functionare a unor procese concrete, cu larga raspandire in practica inginereasca.

La fel ca si in studierea altor tipuri de sisteme (cu care cititorul este deja familiarizat), sintagma "sistem" va fi utilizata pentru a desemna atat o entitate matematica (un model), cat si un obiect fizic (proces), sensul atribuit in fiecare caz rezultand din context. In situatiile in care se va dori o accentuare a faptului ca referirea se face la un obiect fizic, vom folosi termenul de proces cu evenimente discrete.

Rolul acestui capitol este de a introduce cateva concepte fundamentale pentru studierea sistemelor cu evenimente discrete, insotite de ilustrari de natura practica, capabile sa reliefeze latura intuitiva a cunostintelor furnizate.

1.1. Sisteme dinamice cu stari discrete, pilotate de evenimente

Aceasta sectiune are drept scop introducerea conceptului de sistem dinamic cu evenimente discrete, plecand de la notiuni si tipuri de comportari care se presupun cunoscute cititorului familiarizat cu domeniile de studiu traditionale ale automaticii. Aspectele fundamentale sunt legate de structura discreta a spatiului starilor si de evolutia pilotata de evenimente. Aceste aspecte sunt inital comentate cu referire la anumite procese fizice, concrete, iar ulterior sunt formalizate printr-o definitie cu caracter general. Un accent deosebit se pune pe evitarea, de la bun inceput, a posibilelor confuzii dintre sistemele dinamice cu evenimente discrete si sistemele dinamice discrete in timp. Prezentari ale problematicii introductive ce face obiectul de studiu al sectiunii curente pot fi gasite si in studiile monografice (Cassandras, 1993) si (Cassandras et al, 1995).

1.1.1. Sisteme dinamice cu stari continue si sisteme dinamice cu stari discrete

In automatica clasica, formalizarea matematica este orientata asupra modelelor cu stari continue, pentru care spatiul starilor este o submultime a lui u n. Reprezentarile de stare liniare sau neliniare, continue in timp, sau discrete in timp, constituie binecunoscute exemple de astfel de modele, utilizate in studierea fenomenelor fizico-tehnice (si nu numai).

Totusi, acest mod de a privi si intelege modelarea proceselor nu este unic, intrucat nenumaratele aplicatii practice pun in evidenta sisteme pentru care spatiul starilor este o multime discreta, numarabila (finita sau nu).

Exemplul 1.1.1.

Consideram functionarea recipientului din fig. 1.1.1 (a), caracterizata prin evolutia nivelului de fluid x(t). Variabila de stare x ia valori in multimea s0, xmaxt, iar in fig. 1.1.1 (b) este reprezentata o posibila evolutie (traiectorie) a lui x.

Fig. 1.1.1. Functionarea recipientului din Exemplul 1.1.1

Nu intotdeauna, insa, prezinta interes cunoasterea efectiv a valorii luate de x in intervalul s0, xmaxt. De pilda, ne-ar putea interesa numai urmatoarele aspecte privind functionarea rezervorului:

daca recipientul este gol;

daca recipientul contine fluid sub cota xmax;

daca fluidul a atins cota xmax.

In acest caz, putem considera o variabila de stare discreta yI {0,1,2}, unde valorile 0, 1 si 2 sunt asociate, i n ordine, situatiilor mentionate mai sus. In fig. 1.1.1 (c) este prezentata evolutia lui y(t), corespunzatoare evolutiei lui x(t) din fig. 1.1.1 (b).

Conform diagramei din fig. 1.1.1 (c), se constata ca tranzitiile dintr-o stare discreta in alta corespund unor evenimente care se produc intr-o maniera asincrona:

- tranzitia din 0 in 1 - in rezervorul complet gol tocmai a inceput sa se acumuleze fluid;

- tranzitia din 1 in 0 - rezervorul tocmai s-a golit complet;

- tranzitia din 1 in 2 - fluidul tocmai a atins cota maxima admisibila xmax;

- tranzitia din 2 in 1 - nivelul de fluid tocmai a scazut sub cota maxima admisibila xmax.

Sistemele cu evenimente discrete constituie o clasa de sisteme dinamice neliniare a caror investigatie necesita instrumente matematice proprii, diferite de ecuatiile diferentiale sau a ecuatiile cu diferente, utilizate curent in teoria si practica reglarii automate. In acest capitol vom realiza o prezentare generala a specificului dinamicii sistemelor cu evenimente discrete, evidentiind elementele tipice ce induc diferentele majore fata de comportarile cunoscute drept "clasice" in automatica. De asemenea vom prezenta o clasificare a modelelor si a suporturilor teoretice care au stat la baza dezvoltarii domeniului sistemelor cu evenimente discrete. Aspectele definitorii pentru dinamica sistemelor cu evenimente discrete vor fi comentate prin referiri la modul de functionare a unor procese concrete, cu larga raspandire in practica inginereasca.

La fel ca si in studierea altor tipuri de sisteme (cu care cititorul este deja familiarizat), sintagma "sistem" va fi utilizata pentru a desemna atat o entitate matematica (un model), cat si un obiect fizic (proces), sensul atribuit in fiecare caz rezultand din context. In situatiile in care se va dori o accentuare a faptului ca referirea se face la un obiect fizic, vom folosi termenul de proces cu evenimente discrete.

Rolul acestui capitol este de a introduce cateva concepte fundamentale pentru studierea sistemelor cu evenimente discrete, insotite de ilustrari de natura practica, capabile sa reliefeze latura intuitiva a cunostintelor furnizate.

1.1. Sisteme dinamice cu stari discrete, pilotate de evenimente

Aceasta sectiune are drept scop introducerea conceptului de sistem dinamic cu evenimente discrete, plecand de la notiuni si tipuri de comportari care se presupun cunoscute cititorului familiarizat cu domeniile de studiu traditionale ale automaticii. Aspectele fundamentale sunt legate de structura discreta a spatiului starilor si de evolutia pilotata de evenimente. Aceste aspecte sunt inital comentate cu referire la anumite procese fizice, concrete, iar ulterior sunt formalizate printr-o definitie cu caracter general. Un accent deosebit se pune pe evitarea, de la bun inceput, a posibilelor confuzii dintre sistemele dinamice cu evenimente discrete si sistemele dinamice discrete in timp. Prezentari ale problematicii introductive ce face obiectul de studiu al sectiunii curente pot fi gasite si in studiile monografice (Cassandras, 1993) si (Cassandras et al, 1995).

1.1.1. Sisteme dinamice cu stari continue si sisteme dinamice cu stari discrete

In automatica clasica, formalizarea matematica este orientata asupra modelelor cu stari continue, pentru care spatiul starilor este o submultime a lui u n. Reprezentarile de stare liniare sau neliniare, continue in timp, sau discrete in timp, constituie binecunoscute exemple de astfel de modele, utilizate in studierea fenomenelor fizico-tehnice (si nu numai).

Totusi, acest mod de a privi si intelege modelarea proceselor nu este unic, intrucat nenumaratele aplicatii practice pun in evidenta sisteme pentru care spatiul starilor este o multime discreta, numarabila (finita sau nu).

Exemplul 1.1.1.

Consideram functionarea recipientului din fig. 1.1.1 (a), caracterizata prin evolutia nivelului de fluid x(t). Variabila de stare x ia valori in multimea s0, xmaxt, iar in fig. 1.1.1 (b) este reprezentata o posibila evolutie (traiectorie) a lui x.

Fig. 1.1.1. Functionarea recipientului din Exemplul 1.1.1

Nu intotdeauna, insa, prezinta interes cunoasterea efectiv a valorii luate de x in intervalul s0, xmaxt. De pilda, ne-ar putea interesa numai urmatoarele aspecte privind functionarea rezervorului:

daca recipientul este gol;

daca recipientul contine fluid sub cota xmax;

daca fluidul a atins cota xmax.

In acest caz, putem considera o variabila de stare discreta yI {0,1,2}, unde valorile 0, 1 si 2 sunt asociate, i n ordine, situatiilor mentionate mai sus. In fig. 1.1.1 (c) este prezentata evolutia lui y(t), corespunzatoare evolutiei lui x(t) din fig. 1.1.1 (b).

Conform diagramei din fig. 1.1.1 (c), se constata ca tranzitiile dintr-o stare discreta in alta corespund unor evenimente care se produc intr-o maniera asincrona:

- tranzitia din 0 in 1 - in rezervorul complet gol tocmai a inceput sa se acumuleze fluid;

- tranzitia din 1 in 0 - rezervorul tocmai s-a golit complet;

- tranzitia din 1 in 2 - fluidul tocmai a atins cota maxima admisibila xmax;

- tranzitia din 2 in 1 - nivelul de fluid tocmai a scazut sub cota maxima admisibila xmax.