Geometrie descriptivă

Geometria descriptiva utilizeaza nothiunile fundamentale ale geometiei in spathiu, care

sunt: punctul; dreapta; planul; distantha oi masura unghiurilor - nothiuni intalnite in geometria

plana - la care se mai adauga oi nothiunea de spathiu.

In cap. 2, se arata ca daca A este un punct oi (D) o dreapta, relathia A?(D) se citeote

astfel: punctul A aparthine dreptei (D), sau A este situat pe (D), sau (D) trece prin A, sau - in

general - punctul A oi dreapta (D) sunt incidente.

In geometria descriptiva sunt utilizate urmatoarele axiome de incidentha ale geometriei

in spathiu:

- Spathiul este o multhime de puncte.

- Planele sunt submulthimi ale spathiului. Dreptele sunt submulthimi ale planului.

- Orice plan conthine cel puthin trei puncte necoliniare. Orice dreapta conthine cel

puthin doua puncte distincte.

- Prin orice trei puncte trece cel puthin un plan.

- Prin orice doua puncte distincte trece o singura dreapta.

- Daca doua plane diferite au un punct comun, atunci intersecthia lor este o dreapta.

Spre deosebire de punct sau dreapta, planul nu poate fi reprezentat prin proiecthiile

sale, intrucat acestea se confunda cu insaoi planele de proiecthie, iar pozithia acestuia nu poate

fi definita. Ca urmare, pentru a putea reprezenta un plan in epura, acesta se considera

definit prin urmatoarele elemente:

- trei puncte necoliniare A, B oi C; [P] def [A B C];

- o dreapta (D) oi un punct A, exterior acesteia; [P] def [(D), A];

- doua dreapte paralele (D1) oi (D2); [P] def [(D1)//(D2)];

- doua drepte concurente (D1) oi (D2); [P] def [(D1)? (D2)].

3.1. REPREZENTAREA PLANULUI

In geometria descriptiva, planul este reprezentat in epura prin proiecthiile elementelor

care il definesc (fig.3.1): [P] def [A B C], in fig. 3.1, a; [P] def [(D), A)], in fig. 3.1, b;

[P] def [(D1 )//(D)], in fig. 3.1, c; [P]def [(D)? (D1 )], in fig.3.1, d.

Din fig. 3.1, se observa ca fiecare din cele patru moduri de reprezentare a planului

poate fi transformat, fara dificultate, in oricare din celelalte trei. Astfel, daca se unesc punctele

B oi C (v. fig. 3.1, a), determinand dreapta D, atunci [P] def [A B C] => [P] def [(D), A],

iar daca prin punctul C se considera o a doua dreapta (D1), cu proprietatea (D1) || (D) sau

3. PLANUL

Geometrie descriptiva 52

a

In mod frecvent, insa, un plan [P] este reprezentat prin dreptele sale de intersecthie

cu planele de proiecthie [H], [V] oi [L], drepte care poarta denumirea de urme ale planului.

Acest mod de reprezentare a planului are avantajul de a reda, cu mai multa uourintha, pozithia

planului considerat fatha de planele de proiecthie

Urmele planului (fig.3.2) sunt drepte ale acestuia conthinute in planele de proiecthie;

denumirea urmelor unui plan provine de la denumirea planului de proiecthie care le conthine.

d c b

b a

Fig. 3.2

Fig. 3.1

(D1) ? (D), atunci [P] def [(D),C] => [P] def [(D) || (D1)] sau [P] def [(D)? (D1)].

53 Planul

Fig. 3.4 Fig. 3.3

Astfel, pentru un plan [P], se deosebesc (fig.3.2, a):

- urma orizontala (Ph ); (Ph ) = [P] ? [H] => (Ph )? [H];

- urma verticala (Pv ); (Pv ) = [P] ? [V] => (Pv )? [V];

- urma laterala (Pl ); (Pl ) = [P] ? [L] => (Pl ) ? [L].

Intrucat urmele unui plan sunt drepte conthinute de unul din planele de proiecthie,

doua din proiecthiile fiecarei urme coincid, respectiv, cu doua din axele de proiecthie. Rezulta

ca: pentru urma orizontala (Ph)(ph , ph', ph''), (ph) = (Ph), (ph' ) = (Ox), (ph'' ) = (Oy); pentru

urma verticala (Pv ) (pv , pv' , pv''), (pv ) = (Ox), (pv' ) = (Pv ), (pv'' ) = (Oz); pentru urma

laterala (Pl ) (pl , pl' , pl'' ), (pl ) = (Oy), (pl' ) = (Oz), (pl'' ) = (Pl ).

Pentru un plan [P], situat intr-o pozithie oarecare fatha de planele de proiecthie (v.fig.

3.2, a), urmele sunt concurente, doua cate doua, intr-un punct situat pe una din axele de

proiecthie. Se observa ca: (Ph) ? (Pv) = Px ? (Ox); (Ph) ? (Pl) = Py ? (Oy); (Pv) ? (Pl) =

= Pz? (Oz). Punctele Px, Py oi Pz rezulta oi din intersecthia axelor de proiecthie cu planul [P] :

Px =(Ox) ? [P]; Py = (Oy)? [P]; Pz = (Oz) ? [P].

Epura planului, reprezentat prin urme (fig. 3.2, b), se obthine prin rabaterea planelor

[H] oi [L], in jurul axei (Ox), in sensurile stabilite anterior, astfel incat [H] = [V] oi

[L] = [V]. Ca urmare, daca se considera Py ? [H] => Py ? [Oy]; considerand Py ? [L] =>

Py1? (Oy1). Rezulta ca /OPy /? /OPy1 /.

Urmele planului fiind drepte ale acestuia, concurente doua cate doua, un plan poate

fi definit, oi deci reprezentat in epura, prin doua urme ale sale. In mod frecvent, in geometria

descriptiva, un plan este reprezentat prin urma orizontala (Ph) oi cea verticala (Pv) (fig.3.3).

Fiind determinate doua din urmele planului, cea de a treia urma se determina

parcurgand anumite etape ale constructhiei epurei. Fie, de exemplu, planul [P](Ph , Pv )

(v.fig.3.3).

Pentru a determina urma laterala (Pl ) (fig.3.4) se procedeaza astfel: se obthine Py =

= (Ph )? (Oy)? Pz = (Pv )? (Oz); se construieote Py1 pe axa (Oy1), astfel incat /OPy /?

Geometrie descriptiva 54

b a

Fig. 3.5

Pentru urma orizontala H a dreptei (D) ? [P] (fig.3.5, a), se poate observa ca:

??

??

?

?

?

= ?

H [ P] H [ H ] H ( [ P] [ H ]) H (P ).

H ( D ) (D) [ P] H [ P];

H (D) [ H ] H (D) H [ H ];

h ? ? => ? ? => ?

? ? => ?

? => ? ?

? /OPy1 /; se obthine (Pl )=(Pz , Py1 ). Prin procedee similare, se poate determina oricare urma

a planului, cand sunt cunoscute - in epura - celelalte doua urme.

3.2.DREAPTA aI PUNCTUL CONTHINUTE IN PLAN

O dreapta este conthinuta intr-un plan dat daca cel puthin doua puncte distincte ale

dreptei sunt conthinute in planul considerat THinand seama de faptul ca o dreapta conthinuta

intr-un plan intersecteaza planele de proiecthie in puncte (urmele dreptei) situate pe urmele

planului, reprezentarea in epura a dreptei unui plan se simplifica daca punctele care definesc

dreapta se considera a fi doua urme distincte ale acesteia.

Se poate, deci, afirma ca o dreapta (D) (d, d', d'') este conthinuta intr