Trasarea graficelor funcțiilor trigonometrice elementare

Lucrarea de faţă realizeaza trasarea graficelor functiilor trigonometrice cu ajutorul calculatorului.

Programul de simulare permite realizarea graficelor, care ar fi dificil de realizat fara ajutorul calculatorului.

Simulările pot fi mai instructive atunci când sunt utilizate pentru a ilustra idei şi experimente explorate în prealabil prin alte mijloace - idei, teste, discuţii, chestionare, etc.

Aceste programe pot fi de asemenea utilizate în procesul de instruire a elevilor si pentru intelegerea mult mai usoara a partilor grafice din trigonometrie.

Simulatoarele asigură executarea unor situaţii, modele, în care rezultatele finale să fie obţinute din deciziile proprii ale utilizatorului.

Ghidaţi după datele furnizate de simulator, elevii selectează anumite opţiuni sau aleg anumite situaţii, apoi obţin rezultatele precise si corecte.

Utilizarea acestui program face ca interacţiunea dintre elev şi calculator sa devina din ce in ce mai atractiva.

2. ALGORITM PENTRU REPREZENTAREA GRAFICĂ A UNEI FUNCŢII

Pentru a construi graficul unei funcţii f de două ori derivabilă, vom determina, pe etape, următoarele elemente:

2.1. Mulţimea de definiţie a funcţiei

1) Dacă mulţimea de definiţie a funcţiei nu este precizată, se subînţelege că este mulţimea tuturor punctelor x є R pentru care operaţiile prin care este definită funcţia au sens. Vom nota cu E mulţimea de definiţie a funcţiei.

2) Cercetăm dacă funcţia este pară, impară sau periodică.

a) Dacă funcţia este impară, este suficient să studiem şi să reprezentăm graficul funcţiei pentru x є E ∩R+, deoarece pentru x є E ∩R-, graficul va fi simetric faţă de origine.

b) Dacă funcţia este pară, este suficient să studiem şi să reprezentăm graficul funcţiei pentru x є E ∩R+, deoarece pentru x є E∩ R- _ graficul va fi simetric faţă de Oy.

c) Dacă funcţia este periodică de perioadă p, este suficient să reprezentăm graficul funcţiei pentru x є E aparţinând unui interval de lungime p, deoarece graficul se repetă.

2.2. Intersecţia cu axele de coordonate

1)Dacă O є E, atunci graficul taie axa Oy în punctul (O,f(O)). Se calculează, deci,f(0).

2) Dacă ecuaţia f (x) = O are rădăcini reale x1,x2, , atunci graficul intersectează axa Ox în punctele de forma (x1, 0), (x2, 0),

2.3. Limite la capete, continuitatea funcţiei, asimptote

1) Dacă E este o reuniune de intervale, atunci se calculează limitele lui f la capetele fiecărui interval.

2) Dacă există puncte x= a, a є R, pentru care cel puţin una din limitele laterale lim f(x) sau lim f(x) este infinită, arunci x = a este asimptotă verticală.

x—>a x —> a

x<a x> a

3) Asimptotele oblice pot exista numai dacă E este nemărginită. Se calculează, dacă există, lim f (x) şi lim f (x). x —> +∞ x —> -∞

a) Dacă există lim f (x} = a e R ( lim f (x) = b e R), atunci dreapta de ecuaţie y = a x —> +∞ x —> - ∞

(y = b) este asimptotă orizontală la ramura spre +∞ (-∞) a graficului funcţiei.

b) Dacă există lim f (x) ( lim f (x)) şi este egală cu +∞ (-∞ ), atunci se calculează, x —>∞ x —>-∞

dacă există limita m= limf(x)/x, (m'= limf(x)/x). Dacă m(respectiv m') este finit, se x —>∞ x —>∞

calculează, când există, n= lim [f (x) - mx] (n’= lim [f(x)-m'x). Dacă n (respectiv n') x —>∞ x —>-∞

este finit, atunci dreapta de ecuaţie y = mx + n (respectiv y = m'x + n' este asimptotă oblică la ramura spre ∞(respectiv -∞) a graficului funcţiei.

4) Se determină mulţimea punctelor din E pentru care f este continuă.

2.4. Derivata de ordinul întâi

Se determină mulţimea punctelor în care f este derivabilă.

Se calculează f’. În punctele în care funcţia este definită dar nu este

derivabilă, se determină (dacă există) derivata la stânga f’s şi derivata la dreapta f’d

pentru stabilirea semitangentelor.

Se determină rădăcinile reale ale ecuaţiei f’ (x) = 0 şi se întocmeşte tabloul

de semne al derivatei f’.

Se determină intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale

funcţiei.

Dacă f’ (x) >0, pentru x є (a, b), atunci f este strict crescătoare pe (a, b);

dacă f’ (x) < 0 pentru x є (c, d), atunci f este strict descrescătoare pe (c, d), iar dacă

f ‘(x) =0 pentru x є (e, g), atunci f este constantă pe (e, g).

Dacă f este continuă în x0 є E şi există un interval (a, b) care conţine pe

x0 astfel că f este crescătoare (descrescătoare) pe (a, x0) ∩ E şi descrescătoare

(crescătoare) pe (x0, b) ∩ E, atunci x0 este punct de maxim (minim) local al lui f

relativ la E.

2.5. Derivata de ordinul doi

Se determină mulţimea punctelor în care f este derivabilă de două ori.

Se calculează derivata de ordinul doi f".

Se determină rădăcinile reale ale ecuaţiei f "(x) = 0 şi se întocmeşte tabloul

de semne pentru f".

Se determină intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale

funcţiei f, precum şi eventualele puncte de inflexiune ale funcţiei.

Dacă f"(x) >0 (f "(x) < 0) pentru x є (a, b), atunci f este strict convexă

(strict concavă) pe (a, b), iar dacă f"(x) =0 pentru x є [c, d] (c < d), atunci f este o

funcţie liniară pe [c, d].

Dacă f este continuă în punctul x0 є E şi există un interval (a, b) care

conţine punctul x0 astfel încât f este derivabilă de două ori pe (a, b) - {x0} şi dacă f’’

are semne diferite pe (a, x0) şi (x0, b) atunci x0 este punct de inflexiune al funcţiei f

În anumite cazuri se renunţă la f"din cauza dificultăţii.

DOINA RANCEA, LIMBAJUL TURBO PASCAL, EDITURRA LIBRIS, 1993

MIRCEA GANGA, MATEMATICA(CLS a XI-a), EDITURA MATHPRESS, 2001

ION D. ION, NICOLAE ANGELESCU, MERI CONSTANTINESCU,

MATEMATICA(CLS a IX-a), EDITURA TEORA, 1999

TUDOR SORIN, INFORMATICA(CLS a IX-a), EDITURA L&S INFOMAT, 2000