Rezolvarea integralelor definite

LIMBAJ PASCAL

Limbajul Pascal a apãrut la inceputul anilor ’70 şi a fost elaborat de cãtre matematicianul Niklaus WIRTH.Iniţial, limbajul a fost conceput pentru predarea sistematică a disciplinei de programare a calculatoarelor; deci ca limbaj de tip pseudocod. Cu timpul, limbajul a inceput să fie folosit şi in activitatea practică de programare a calculatoarelor. La ora actuală, există mai multe implementări ale limbajului PASCAL STANDARD, dintre care una dintre cele mai utilizate aparţine firmei americane BORLAND, varianta denumită TURBO PASCAL. Această implementare include toate elementele limbajului Pascal standard,dar ofera şi facilităţi suplimentare.

Mediul de programare Turbo Pascal

Un limbaj de programare este un limbaj artificial care prin exprimări simbolice (directive, comenzi, instrucţiuni) descrie operaţiile de prelucrare automată a datelor,necesare pentru rezolvarea unei anumite probleme a utilizatorului.

Calculatorul manipulează informaţia sub formă binară. El nu înţelege decât comenzi date în binar. Codul în care sunt scrise aceste comenzi este codul binar, iar limbajul este limbajul maşină. Se numeşte aşa pentru că el este un limbaj al maşinii, al procesorului. Este specific fiecărui tip de maşină deoarece setul de instrucţiuni pe care le înţelege calculatorul trebuie să se regăsească sub formă de circuite electronice în procesor. Pentru om este foarte greu să urmărească un program scris în limbajul maşină, program care este un şir de cifre binare. Din această cauză au fost create limbajele de programare de nivel înalt. Ele sunt mai apropiate de limbajul uman şi sunt în general portabile, adică cu foarte mici modificări, un program scris într-un astfel de limbaj va putea fi executat pe orice tip de calculator. O instrucţiune dintr-un limbaj de nivel înalt codifică un grup de instrucţiuni maşină. Limbajele de programare de nivel înalt se mai numesc şi limbaje algoritmice deoarece descriu algoritmul de rezolvare a problemei sub forma unei secvenţe de instrucţiuni care se vor executa în ordinea în care au fost scrise. Limbajul Pascal este un limbaj de nivel înalt.

Limbajele de nivel înalt nu sunt înţelese de calculator deoarece acesta nu înţelege decât instrucţiunile binare ale limbajului maşină. Instrucţiunile din limbajele de nivel înalt trebuie traduse în cod maşină. Această operaţie se realizează cu ajutorul unor programe traducătoare. Programele traducătoare sunt de două tipuri:

--- compilatoare, care traduc întreg programul pentru a-l putea transforma într-un program care să fie executat ori de câte ori este nevoie;

---interpretoare, care traduc şi execută pe rând fiecare instrucţiune.

Compilatoarele traduc o singură dată programul, spre deosebire de interpretoare care necesită traducerea la fiecare execuţie a programului. Operaţia de compilare este echivalentă cu o traducere scrisă pe care o putem să o citim ori de câte ori dorim, iar operaţia de interpretare este similară unei traduceri în direct la care avem nevoie de fiecare dată de o persoană care sa ne traducă textul. Scopul acestor operaţii este de a obţine programe executabile, adică programe care să poată fi încărcate în memoria calculatorului, înţelese de către calculator şi executate de către acesta.

Integrarea numerică a funcţiilor

Fie o funcţie continuă. Pentru a calcula integrala definită se pot utilize mai multe metode: (i) se pleacă de la definiţia integralei cu ajutorul sumelor Riemann sau a sumelor Darboux ; (ii) se dezvotă f în serie Taylor cu centrul într-un punct x0 din [a,b], deci , apoi se integrează seria dată termen cu termen;(iii) dacă se cunoaste primitive F a lui f se utiliziază formula Leibniz-Newton: Aceste metode însă sunt uneori imposibile sau extreme de laborioase, deci impracticabile chiar şi în cazul unor funcţii dintre cele mai simple cum ar fi spre exemplu : etc. pentru necesităţile ridicate de practică este însă sufficient să cunoaştem valoarea aproxmativă a integralei cu o eroare dată oricât de mică. Să indicăm mai jos cîteva metode în acest sens.

Formula dreptunghiurilor

Fie şi

Atunci Sn aproximiază pe cu o eroare cel mult egală cu

Semnificaţia geometrică a formulei dreptunghiurilor:

Fie Di dreptungiul care are baza intervalul [xi, xi+1] şi înălţimea de lungime Atunci aria , deci formula dreptunghiurilor ne arată că se poate aproxima cu suma ariilor dreptunghiurilor Di, pentru

0 ≤ i ≤ n-1.

Formula lui Simson

Formula trapezelor

Fie şi Atunci Sn aproximiază pe cu o eroare cel mult egală cu

Dem. Să punem în relaţia ,

n =2, t1=-1, t2=1 şi ρ=1.

Atunci avem :

cu o eroare

Aşadar avem :

cu o eroare

Oservaţie Relaţia :

poartă numele de formula trapezelor

Semnificaţia geometrică a formulei trapezelor

Fie Ti trapez determinat de dreptele x=xi-1, x=xi, axa şi graficul lui f. Atunci aria

, deci formula trapezelor ne arată că se poate aproxima cu suma ariilor trapezelor Ti pentru

Exemplu. Să se calculeze valoarea aproximativă a integralei cu o eroare utilizând formula trapezelor.

Avem deci şi deci Determinăm pe n ≥ 1 a.î

Aunci avem:

Prin urmare cu o eroare deci cu o eroare

MOTIVAREA TEMEI

Această aplicaţie realizată în limbajul de programare BORLAND PASCAL poate fi util elevilor, profesorilor şi altor persoane care au nevoie de a calcula rapid şi cu o precizie maximă a integralelor definite. Utilizatorul introduce funcţia de la tastatură (calculează pentru orce funcţie, nu are importanţă cât de coplexă este ea), aşteaptă introducerea intevalului după care afişează rezultatul cu două zecimale. Mai poate fi folosit de elevi pentru a vedea dacă o integrală au calculat-o corect sau nu.

Aplicarea temei în informatică:

Ideea ce stă la baza rezolvării integralelor definite pe calculator este de a calcula aria mărginită de graficul funcţiei date şi de axa Ox.

Variabilele folosite în program sunt: e, bool, c1, b1, s1. Variabila e este de tip funcţie, bool,b1: boolean, s1: real.

Expresia funcţiei va fi memorată într-un şir de caractere. Ea va putea conţine operaţii şi funcţii elementare (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare le putere, exp, ln, abs, radical, sin şi cos). Pentru a putea utiliza inclusiv funcţii „cu acoladă”, vom folosi o convenţie din limbajul BASIC. xcos , dacă x≠0

- Analiză matematică - Gheorghe Sireţchi

- Borland Pascal 7.0 pentru Windows -V.Cristea, editura Teora.

- Programarea calculatoarelor. Manual pentru licee de informatica, clasa X-XII - F.Munteanu, editura Didactica si Pedagogica.

- Tehnici de programare: - S.Tudor, editura Teora.