Polinoame

Fie nN* si a0, a1, a2, , an numere complexe, an  0.

Expresia:

f = a0 + a1X + a2X2 + +anXn,

se numeste polinom de gradul n cu coeficienti complescsi in variabila X, iar functia f : C - C, f (x) = a0 + a1X + a2 X2 + +anXn

se numeste functia polinomiala de gradul n asociata polinomului.

Termenul akXk se numeste monom de gradul k, iar ak se numeste coeficientul monomului.

Coeficientul an se numeste coeficientul dominant al polinomului, iar a0 se numeste termenul liber al acestuia. Exemple

1. f = 1+2X-3X3 - gradul = 3 - coeficient dominant = -3 - termenul liber = 1

2. g = X+2X5-10X10 - gradul = 10 - coeficient dominant = -10 - termenul liber = 0.

Se noteaza gradul unui polinom f cu grad f.

Fie f = a0 + a1X + a2X2 + +anXn si g= b0 + b1X + b2X2+ + bmXm doua polinoame cu coeficienti complecsi. Polinoamele sunt egale (f = g) daca si numai daca

n = m si ak = bk pentru orice k, 0 ≤ k ≤ n.

Daca doua polinoame cu coeficienti complecsi sunt egale, atunci functiile polinomiale atasate acestora sunt egale.

2. Operatii cu polinoame

1. Adunarea

Fie:

f = a0 + a1X + a2X2 + + anXn si

g= b0 + b1X + b2X2+ + bmXm

doua polinoame cu coeficienti complecsi, de gradul n, respectiv m cu n ≥ m. Se defineste suma polinoamelor f si g polinomul

f+g = a0 + b0 +(a1 + b1)X +(a2 + b2)X2 + +(am + bm)Xm +am+1Xm+1 + +anXn

Astfel, suma a doua polinoame se face adunand coeficientii termenilor cu acelasi grad.

Exemplu:

Fie: f = 2 + 3X + 5X2 + X3 si g = 1- X - 2X + X5.

Atunci

f + g = 3 + 2X + 3X2 + X3 + X5.

2. Inmultirea

Produsul polinoamelor f si g este polinomul:

f ּ g =c0 + c1X + c2X2 + +cm+nXm+n,

unde coeficientii c0, c1, , cm+n sunt dati de relatiile: c0 = a0 b0 c1 = a0 b1 + a1 b0 c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 cm+n-2 = an-2bm + an-1bm-1 + anbm-2 cm+n-1 = an-1bm + an bm-1 cm+n = an bm

In general, se poate scrie ck = ai bk-i suma facandu-se dupa toti indicii care verifica simultan conditiile 0 ≤ i ≤ n si 0 ≤ k-1 ≤ m. Exemplu

Fie : f = 2 - 3X +4X2, si g = 1 + X - X3

Atunci f g = 2 - X + X2 + 2X3 + 3X4 - 4X5

Se observa ca, daca f = a0 si g = b0 (f si g sunt polinoame de gradul zero), atunci f + g = a0 + b0 iar f ּ g = a0b0. Astfel pot fi identificate polimoamele de gradul zero cu numerele complexe. Polinoamele de gradul 0 se mai numesc polinoame constante.

Si numarul complex 0 poate fi identificat cu un polinom. Acesta se numeste polinom nul notat chiar cu 0.

Un polinom diferit de polinomul nul se numeste polinom nenul (acesta nu inseamna ca functia polinomiala asociata acestuia nu se anuleaza).

Observatii:

a) Daca f , g  C[X] ( multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi) sunt polinoame nenule, atunci grad (f + g) ≤ max (grad f , grad g) grad (f ּ g) = grad f + grad g.

Daca grad f  grad g , atunci grad (f + g) = max (grad f , grad g).

b) Daca in egalitatea grad (f ּ g) = grad f + grad g, polinomul g ar fi polinom nul, am obtine grad(0) = grad (f) + grad (0). De aceea uneori se defineste gradul polinomului nul ca fiind -.