Calculul rangului unei matrice

Lucrarea de faţă prezintă o aplicaţie practică în matematică, mai specific în algebră şi anume calculul rangului unei matrice. În practică, mai ales la şcoală, ne întâlnim deseori cu probleme în care trebuie să rezolvăm anumite sisteme de ecuaţii în care mai întâi trebuie aflat rangul acestora. În general rangul unei matrice cu număr mic de linii şi coloane se poate afla destul de uşor. Dar odată cu creşterea ordinului matricei devine din ce în ce mai greu. De aceea s-a experimentat rezolvarea acestor sisteme de ecuaţii cu ajutorul calculatorului prin crearea de programe specializate.

Programele de acest fel permit experimentarea unor situaţii, care ar fi dificil sau imposibil de realizat în practică. Simulările pot fi mai instructive atunci când sunt utilizate pentru a ilustra idei şi experimente explorate în prealabil prin alte mijloace - idei, teste, discuţii chestionare.

Aceste programe pot fi de asemenea utilizate în statistici ale unor date la anumite nivele, în realizarea unor reuniri care sunt prea costisitoare, complicate sau mari consumatoare de timp.

Acest tip de programe asigură simularea unor situaţii, modele, în care rezultatele finale să fie obţinute din deciziile proprii ale utilizatorului aplicându-se la orice nivel.

Ghidaţi după datele furnizate de program, se pot selecta anumite opţiuni sau alege anumite situaţii şi apoi se obţin rezultatele deciziilor.

O utilizare în creştere o au programele prin care se caută anumite statistici a diferitelor procese şi fenomene, păstrându-se interacţiunea dintre utilizator şi calculator.

Programul nostru va calcula rangul unei matrice prin metoda triangularizării.

2. Sisteme de ecuaţii liniare

2.1. Noţiuni introductive

Sistemele de ecuaţii liniare sunt un ansamblu de mai multe ecuaţii algebrice de gradul întâi cu mai multe necunoscute.

Studiul acestora este foarte important pentru matematică. Sistemele de ecuaţii liniare pot avea un număr diferit de ecuaţii şi de necunoscute. Fie un sistem de m ecuaţii cu n necunoscute. Convenim să notăm necunoscutele cu x1, x2, xn, coeficientul cu care apare necunoscuta xj din ecuaţia a i-a prin aij, iar membrul al doilea (numit termenul liber) din ecuaţia a i-a prin bi. Cu aceste notaţii, sistemul de ecuaţii liniare se scrie sub forma generală:

(1)

Sistemul (1) poate fi scris condensat sub forma:

(1’)

Coeficienţii necunoscutelor formează o matrice cu m linii şi n coloane:

(2)

numită matricea coeficienţilor sistemului sau, simplu, matricea sistemului. Matricea cu m linii şi n+1 coloane

(3)

care se obţine adăugând la coloanele matricei A coloana temenilor liberi b1, b2, , bm, se numeşte matricea extinsă a sistemului.

Un sistem de numere 1, 2, , n, se numeşte soluţie a sistemului (1), dacă înlocuind necunoscutele x1, x2, , xn respectiv prin aceste numere, toate ecuaţiile acestui sistem sunt verificate, adică:

(4)

2.2. Rangul unei matrice

Fie o matrice A cu m linii şi n coloane cu elemente numere reale,

iar k un număr natural, astfel încât 1  k  min(m,n).

Dacă în A alegem k linii: i1, i2, , ik şi k coloane: j1, j2, , jk, elementele care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică de ordin k:

al cărei determinant se numeşte minor de ordin k al matricei A.

Observăm că din matricea A se pot obţine minori de ordinul k ai matricei A.

B. Pătruţ, M. Miloşescu, Informatică (cls a IX-a), ed. Teora, 1999

Tudor Sorin, Turbo Pascal (cls a IX-a), ed. L&S Infomat

Internet

Turbo Pascal 6.0, Ghid de utilizare, ed.Microinformatica

C. Mihu, Metode numerice în algebra liniară, ed. Tehnică

Matematică, Elemente de algebră superioară, clasa a XI-a, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1987