1. Ce este o baza intr-un spatiu liniar finit dimensional si cum se exprima coordonatele unui vector relativ la o baza ?
Raspuns:
Baza intr-un spatiu vectorial peste corpul K este un sistem de vectori B = (e1, e2, ..., en), liniar independenti si care genereaza spatiul, adica orice vector v se exprima ca o combinatie liniara de vectorii din B: v = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en , x1, x2, ..., xn ? K. Scalarii x1, x2, ..., xn se numesc coordonatele vectorului v in baza B.
2. Definiti notiunile de valori si vectori proprii ai unui operator liniar.
Raspuns:
Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V ? V un operator liniar. Un vector nenul v ? V se numeste vector propriu al operatorului f daca exista un scalar ? din K a.i. f(v) = ?v. Scalarul ? se numeste valoare proprie.
3. Definiti notiunile de sir numeric si de serie numerica. Cum se aproximeaza suma unei serii numerice ?
Raspuns:
Un sir numeric este o functie f : N ? R, valoarea f(n) = un numindu-se termenul general al sirului.
Cu termenii sirului (un)n ? N se construieste sirul cu termenul general sn = u0 + u1 + ... + un.
Perechea formata din sirul (un)n ? N si (sn)s ? N se numeste serie cu termenul general un si se noteaza . La o serie se pun 2 probleme: determinarea naturii (convergenta sau divergenta) si calculul sumei sale .
Aproximarea sumei S a seriei convergente se face prin formula S ? sn, cu eroarea de aproximare rn = un+1 + un+2 + ... .
Teoria seriilor este o combinatie intre studiul sumelor finite si cel al limitelor de siruri.
4. Ce reprezinta logaritmul in baza data a ? 0, a ? 1 a numarului N ? 0 ?
Raspuns:
. Deci este puterea la care trebuie ridicata baza pentru a obtine numarul.
5. Scrieti ecuatia generala a unui plan in spatiu, respectiv a unei drepte determinata de 2 puncte, in spatiu.
Raspuns:
Consideram punctele din spatiu ale caror coordonate sunt si .
Ecuatiile canonice ale dreptei determinate de si sunt :
Ecuatia generala a unui plan este: a x + b y + c z + d = 0.
6. Ce reprezinta numarul de pivoti din forma scara redusa a unei matrice (ce informatie codifica) ?
Raspuns:
Numarul de pivoti este egal cu rangul matricii si cu numarul maxim de coloane liniar independente.
7. Cine da dimensiunea unui spatiu vectorial ?
Raspuns:
Numarul de vectori dintr-o baza a spatiului.
8. Ce este o baza ortonormata in spatiul Rn si cum se exprima coordonatele unui vector intr-o astfel de baza ?
Raspuns:
O baza ortonormata B = (e1, e2, ..., en) este o baza cu proprietatea ca oricare doi vectori distincti sunt ortogonali si norma fiecarui vector este egala cu unu . Un vector v se descompune in baza B astfel: v = ?v, e1? e1 + ?v, e2? e2 + ... + +?v, en? en .
9. Ce este o matrice ortogonala si intre ce fel de baze ale spatiului Rn matricea de trecere este ortogonala ?
Raspuns:
O matrice ortogonala este o matrice patratica cu elemente reale cu proprietatea ca produsul ei cu transpusa este matricea unitate: AAT = In . Matricea de trecere intre doua baze ortonormate este ortogonala.
Disciplina: Matematica
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
