Teoreme probabilități

Teorema lui Poisson. Dacă într-o succesiune de probe independente, probabilitatea de apariţie a evenimentului A în proba de rang k este pk, atunci:

unde α este număru lde apariţii ale avenimentului A în primele n probe.

Demonstraţie.

Dacă introducem variabila aleatoare Xk cu numărul de apariţii ale evenimentului A în proba de rang k, atunci

Rezultă că am obţinut şirul de varianbile aleatoare ndependente (Xn)nEN* astfel încât:

adică dispersiile variabilelor şirului sunt uniform mărginite de c =1/4 . Sunt verificate

condiţiile teoremei lui Cebâşev şi, deci, cum

si

rezulta ca:

Teorema lui Liapunov. Fie (Xn)nEN* un şir de variabile aleatoare idependente pentru care există

Notam

Daca

Atunci

Teorema lui Hincin. Fie (Xn)nEN* un şir de variabile aleatoare independente, identic repartizate şi cu valori medii finite: M(Xk) = a, k=1,2,…. Atunci,

Teorema lui Poisson, Teorema limită centrală (Lindeberg-Levy), Teorema Moivre-Laplace