Aproximarea funcțiilor continue prin polinoame

Una din cele mai importante probleme ale analizei matematice este aceea de a reprezenta o functie cu ajutorul unor functii de o structura mai simpla. Prima teorema de aproximare da un raspuns la aceasta problema, in cayul in care functia este continua.

Prima teorema de aproximare a lui WEIERSTRASS

Fie f o functie reala, continua pe intervalul compact Exista un sir de functii polinomiale P1, P2, , Pn , care converge uniform, pe , catre functia f.

Demonstratia acestei teoreme a lui Weierstrass este data de matematicianul sovietic S. N. Bernstein. Aceasta demonstratie are meritul de a da un procedeu constructiv, efectiv, de obtinere a polinoamelor cautate.

De la intervalul se poate trece la intervalul prin transformarea :

si prin aceasta transformare calitatea de polinom se pastreaza, rezulta ca este suficient sa demonstram teorema pentru intervalul

Notam cu numarul combinarilor de n obiecte luate cate m si consideram asa-numitele polinoame ale lui Bernstein asociate functiei f :

.

Stabilim cateva relatii privitoare la coeficientii Se stie ca daca n este un numar natural, atunci :

(1)

Derivam in ambii membrii in raport cu p si multiplicam cu p rezultatele obtinute :

(2)

Derivam din nou in raport cu p si multiplicam cu p rezultatele obtinute in cei doi membrii :

(3)

In ecuatia (1) inlocuim si :

(4)

In ecuatiile (2) , (3) inlocuim si :

(5)

. (6)

Inmultim cei doi membrii din ecuatia (4) cu , cei doi membrii din (5) cu si adunam membru cu membru egalitatile astfel obtinute cu egalitatea ecuatiei (6) :

deci:

. (7)

Fie o valoare arbitrara, dar fixata, in intervalul Fie - un numar pozitiv arbitrar.

Notam cu:

suma acelor termeni din membrul al doilea al egalitatii (4), pentru care m satisface inegalitatea

;

Notam cu: