Seminar Tehnici de Optimizare

1. Determinati maximul functiei

f(x; y) =

1

(x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 + 1

Discutie dupa a 2 R.

2. Sa se determine parametrul real astfel incat

f(x; y) = 11x2 + 20xy + y2 ¡ 2x ¡ 2y + 2

sa aiba un minim (local) egal cu 2.

3. Sa se calculeze extremele si natura acestora pentru urmatoarele functii:

a. f(x; y; z) = (x + 1)(y + 2)(z + 3)

b. f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 ¡ 2xyz

c. f(x; y; z) = (x + y)e¡x2+y2

2

4. Determinati extremele functiei

f(x; y) = x3y2(a ¡ x ¡ y)

Pentru ce valori alel lui a are aceasta un maxim global ?

5. Fie f : R2 7! R, f(x; y) = x3 +y3 ¡3xy. Scrieti o aproximatie patratica

a acestei functii in vecinatatea punctelor (0; 0) si (1; 1). Determinati

un minim (local).

6. Pentru ce valori ale numarului natural n functia

f(x; y) = xn + yn ¡ nxy

are puncte de extrem global ?

1

7. Exista functii diferentiabile pentru care nici un punct critic (daca aces-

tea exista) nu este punct de extrem ? Argumentati cu ajutorul unui

exemplu.

8. Gasiti minimul functiei

J = x2 + xu + u2

conditionata de xu = 1.

9. Exista functii care nu sunt de clasa C2 dar care au Hessianul simetric ?

10. Sa se gaseasca triunghiul de arie maxima avand perimetrul egal cu p.