Inele topologice simple

Vom stabili in acest paragraf cateva rezultate cu privire la inelele topologice simple nediscrete.

Teorema 5.1

Fie R un inel semitopologic simple nediscret cu unitate. Daca a , b sunt elemente din R si U este o vecinatate a lui zero, atunci aUb

Demonstratie

Presupunem contrariul, si anume, fie aUb=0. Indicat de I={x:x si exista o vecinatate V a lui zero astfel incat xVb=0}.

Daca x, y , atunci exista vecinatatile V1, V2 ale lui R astfel incat xV1b =0= yV2b (x-y)(V1 V2)b=0 x-y I.

Fie x , r R; atunci exista o vecinatate V a lui zero in R astfel incat xVb=0 rxVb=0 rx I. Alegem o vecinatate V1 a lui zero pentru care rV1 V. Atunci xrV1b xVb=0 xr I. Am demonstrat ca I este un ideal bilateral(in ambele parti) ale lui R.

Cum 0 obtinem ca I=R. Rezulta ca exista o vecinatate W a lui zero in R a.i. Wb=0.

Punem J={y:y R si exista o vecinatate V1 a lui zero a.i. V1y=0} Daca y1,y2- J, atunci exista vecinatatile V1, V2, ale lui zero in R a.i. V1y1=V2y2=0 (V1 V2)(y1-y2) =0 y1-y2 J.

Evident J este un ideal la dreapta a lui R Fie y J , r R si Vy=0 pentru o vecinatate a lui zero V din R. Alegem o vecinatate V1 a lui zero in R a.i. V1r V, Atunci V1ry Vy=0 ry J.

Am demonstrat ca J este un subinel al lui R. Cum 0 R, J=R. De aceea exista o vecinatate W1 a lui zero a.i W=W1= 0, o contradictie.

Corolar 5.2. Orice subinel deschis al unui inel semitopologic simple nediscret cu untate este prim.

Demonstratie

Presupunem contrariul si fie S un subinel prim deschis. S contine doua ideale bilaterale diferite de 0 A si B s.t. A B=0 A S B=0, o contradictie cu teorema II.5.1

Remarca 5.1.

Fie R un inel semitopologic prim (semiprim) conect Daca a 0, b 0 si U este o vecinatate a lui zero in R , atunci aUb

Teoreme 5.3.

Fie R un inel simplu compact local total neconect Daca S este un subinel deschis compact si J(S) radicalul Jacobson al sau, atunci J(S) este deschis.

Demonstratie

Presupunem contrariul. Daca L este un inel compact cu radical deschis atunci orice subinel compact al lui L are aceeasi proprietate. De aceea putem presupune fara a pierde generalitatea ca S este deschis. Atunci inelul factor S/J(S) este un inel semisimplu compact infinit si din teorema lui Kaplansky [K1] este un produs topologic de inele de matrice discrete peste un camp finit. Dat de : S S/J(S) homomorfism canonic de inele. Exista un element nenul x- S/J(S) si o vecinatate a lui zero V- a.i. V- x- V- =0.

daca x -1(x- ) , V= -1(V- ), atunci x si V este o vecinatate a lui zero in R pentru care VxV J(S).

Indicat de e- elementul unitate al lui S/J(S) Fixam orice element e -1(e- ); atunci z-ze, ez-z J(S) pentru orice z din S.

Punem I={ y: y si exista o vecinatate V a lui zero astfel incat Yw J(S) }.

Pretindem ca I este un ideal in ambele parti al lui R intr-adevar daca y1, y2 I si W1y1W1 J(S) si W2y2W2 J(S) , atunci (W1 2)(y1-y2)( W1 2) J(S) y1-y2 I. Daca y I, r R si WyW J(S) pentru o vecinatate a lui zero din R , atunci alegem o vecinatate W1 W a lui zero in R a.i. rW1 W. Atunci W1ryW1 WyW J(S), W1yrW1 WyW J(S) ry, yr I. Asadar I este un ideal in ambele parti nenul al lui R I=R. Exista o vecinatate W a lui R , care este un ideal al lui S a.i. WeW J(S) cum e- este unitatea lui S/J(S), obtinem W2 J(S) W J(S); de unde J(S) este deschis, contradictie.

Corolar 5.4.

Daca R este un inel simplu compact local disconect total nediscret cu unitate atunci orice subinel deschis compact este un inel cu radical deschis.

Teorema 5.5

Fie p un numar prim si R un inel compact local simple cu identitate. Daca R este algebra peste Z/pZ, atunci R este

MIHAIL URSUL - "Topological groups and rings"- Editura Universitatii din Oradea, 1998