Soluționarea numerică a sistemelor

In viata de zi cu zi, multe probleme din domeniul thnicii, in general, si din cele al energeticii, in particular, conduc la metodele matematice care implica rezolvarea unor sisteme de ecuatii liniare de dimensiuni foarte mari. Pe de alta parte, orice problema poate fi elaborata, in prima instanta, ca un model liniar sau, daca modelul este neliniar, el poate fi liniarizat in prima aproximatie, o singura data sau la fiecare pas la unui proces iterativ de solutionare.

Un sistem de n ecuatii algebrice liniare avand coeficientii aij ? R , i,j=1,2,3,...,n si termenii liberi bi? R, i=1,2,3,...,n, cu n necunoscute xi ? R, i=1,2,3,...,n are expresia:

Forma restransa corespunzatoare expresiei de mai sus este exprimata conform relatiei:

n

? aijxj=bi , i=1,2,3...,n

j=1

Notatii:

- matricea coeficientilor

- vectorul coloana al termenilor liberi

- vectorul coloana al necunoscutilor

- forma matriceala a sistemului este: A x=b .

Dupa natura lui b se disting urmatoarele tipuri de sisteme de ecuatii liniare: sisteme neomogene la care b?0 si cele omegene la care b=0. Sitemele de ecuatii liniare neomogene au o solutie unica daca si numai daca matricea A este nesingulara. Daca matricea A este singulara atunci cel putin una din ecuatii nu este liniar independenta, sistemul avand o infinitate de solutii. Sistemele de ecuatii liniare omogene admit solutia banala x=0. Ele admit si alte solutii, nebanale, daca matricea A este singulara.

Solutionarea sistemelor de ecuatii liniare se poate face cu doua categarii de metode:

a) metode directe sau ,,exacte"

b) metode indirecte sau iterative.

Metodele directe se caracterizeaza prin aceea ca solutiile sistemului rezulta printr-o secventa de operatii care se executa o singura data, numarul total de operatii aritmetice elementare fiind finit si cunoscut de la bun inceput.

Algoritmul matematic

Metoda diagonalizarii presupune trasformare sistemului intr-un sistem echivalent de forma A*? x=b* pentru care rezolvarea sa fie foarte simpla. Versiunea Gauss-Jordan a metodei eliminarii se caracterizeaza prin faptul ca A*=I, ceea ce permite determinarea imediata a solutiei: x=b*.

Matricea A trebuie redusa la matricea unitate I, efectuand operatiile corespunzatoare si asupra vectorului b.

Etapele aplicarii acestei metode sunt:

1. Se initializeaza A0=A si b0=b; si se verificaa daca sistemul este compatibil determinat si daca se poate rezolva cu metoda aleasa.

Codul sursa Matlab

function x=sistem(A,b)

dim1=size(A);

%numarul de linii al lui A

la=dim1(1);

%numarul de coloane al lui A

ca=dim1(2);

dim2=size(b);

%numarul de linii al lui b

lb=dim2(1);

%numarul de coloane al lui b

cb=dim2(2);

if la==lb==ca==cb==1

disp('solutia este')

x=b(1)/A(1)

end

if (la~=ca)|(la~=lb)

disp('eroare')

disp('matricea nu este patratica sau numarul de linii')

disp('ale matricei coeficientilor si a vectorului')

disp('colana a temenilorliberi nu sunt egale')

else

if rank(A)==rank([A b])

disp('sistemul este compatibil determinat')

end

if b==zeros(lb,1)

disp('sistemul este neomogen')

if det(A)~=0

disp('sistemul admite doar solutia banala')

else

disp('sistemul adimte nu doar solutia banala')

end

else

2. La un pas orarecare k, se calculeaza elementele matricii Ak si ale vectorului bk cu relatiile:

akkj=akjk-1 / akkk-1

bkk=bkk-1 / akkk-1

aijk=aijk-1-aikk-1*akjk

bik=bik-1-aikk-1*bkk

3. Se obtine A* si vectorul b*

A*=An

b*=bn

4.Componentele solutiei sunt xi=b*i.

if det(A)==0

disp('sistemul are o infinitate de solutii')

else

for k=1:la

t=A(k,k);

u=b(k);

b(k)=u/t;

for j=1:la

if j~=k

A(k,j)=A(k,j)./t;

end

end

for i=1:la

for j=1:la

if i~=k && j~=k