Mulțimi, funcții, numere reale

OBSERVATIE. Relatia (1) se deduce usor tinand cont de definitia operatiilor de reuniune si intersectie. In manualele de clasa a IX-a (editiile 1980-1998) este propusa ca exercitiu.

Solutie. Aici intram pe taramul rezolvarii ecuatiilor diofantice liniare in doua variabile. Aceste ecuatii (care nu se studiaza in scoala) apar totusi in exercitii din unele culegeri de larga circulatie (Nita/Nastasescu sau Pirsan/Lazanu de exemplu). Forma unei astfel de ecuatii este: Mai multe despre acest tip de ecuatii puteti afla din lucrarea Compendiu de matematica de A. E. Beju si I. Beju, aparuta la Ed. Stiintifica in 1983 (de fapt, si subsemnatul tot de acolo s-a informat). Observam insa ca trebuie sa cautam solutii naturale, adica intregi si pozitive. Se pun deci conditiile: Exista 200 de valori intregi ale lui t in intervalul [0; 199]. Prin urmare, multimea are 200 de elemente. Raspunsul corect este A). Cate elemente are multimea: 999 B) 1000 C) 1002 D) 989 E) 998 Aceasta a doua egalitate ne ofera perechile de care avem nevoie. Adunam si scadem o unitate, pentru a o transforma: De aici rezulta: Solutie.

Cea mai la indemana idee pare rezolvarea ecuatiei si calculul lui x.

Numai ca ecuatia nu admite solutii reale si calculul cu numere complexe este extrem de incomod.

Ideea ingenioasa este sa impartim fractia initiala cu x, scriind egalitatea data sub forma: In acelasi spirit, expresia E se scrie sub forma: Cu care din numerele urmatoare trebuie sa amplificam fractia: pentru rationalizarea numitorului? E) nici unul din raspunsurile A) -D) nu este corect.

Solutie.

Sigur ca o varianta este sa inmultim numitorul fractiei pe rand cu fiecare din numerele propuse, oprindu-ne daca rezultatul este rational.

In caz ca nici unul din cele patru produse nu este rational, raspunsul corect este E). Aceasta metoda de forta bruta contravine insa spiritului logic al matematicii.

Cum nici unul dintre numerele A) -D) nu satisface aceste conditii, raspunsul corect este E). Cate elemente are multimea: doua B) patru C) unul D) niciunul E) trei Se dau numerele: Care dintre acestea sunt rationale? Solutie.

Este clar ca a este rational.

La fel de clar este ca numerele c si d sunt irationale. Raman in discutie doar b si e. In cazul lui b, daca efectuam calculele, rezulta: Numarul e are o reprezentare zecimala infinita, care insa nu este periodica. Prin urmare, nu este rational.

Raspunsul corect este deci E). definite pe domeniile maxime. Care dintre ele sunt injective? toate B) doar f3 C) f2 si f3 D) f2, f3 si f4 E) niciuna Solutie.

Expresia functiei f1 se rescrie sub forma: Pentru f2, scriem: Pentru f3, trebuie analizate trei situatii: o infinitate B) doua C) niciuna D) una E) patru limita la stanga a functiei in 2 sa fie superioara limitei la dreapta.

doua B) niciuna C) una D) mai mult de doua E) nici unul din raspunsurile A) -D) nu este corect ...