Permutări matrice și determinanți

Fie o multime ordonata. Fie .

este functie bijectiva

O functie bijectiva de la A la A se numeste permutare.

Notatie:

si

este multimea tuturor permutarilor de n elemente. Numarul tuturor permutarilor de grad n este .

1. PRODUSUL (COMPUNEREA) PERMUTARILOR

Fie unde si . bijective

Fie

Notatie:

Exp:

Obs:

o Nu are sens sa vorbim despre produsul a doua permutari de grade diferite.

o

Proprietatile inmultirii

1. Inmultirea permutarilor este asociativa:

2. Elementul neutru:

3. Orice permutare are inversa:

Ex.:

2. TRANSPOZITII

Fie . Fie

este o functie bijectiva, permutare de gradul n.

Proprietati:

1.

2.

3.

Numarul transpozitiilor de gradul n este egal cu

Inversiunile si signatura unei permutari

Fie . Se defineste .

permutare de gradul n, atunci se numeste inversiunea permutarii daca este numarul tuturor inversiunilor permutarii si cel mult egal cu

Numarul este signatura (semnul) permutarii .

este o permutare para daca sau o permutare impara daca

Exp: Fie

Teorema:

Daca este o transpozitie de gradul n, atunci transpozitia este impara.

Teorema:

Daca este o permutare de gradul n, atunci are loc egalitatea: . Daca si sunt permutari din , atunci .