Limite de funcții

Definitia limitei unei functii intr-un punct (definitia lui Heine): Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) al unei multimi ; se spune ca este limita functiei in punctul , daca sirul al valorilor functiei tinde catre unde

Punct de acumulare Fie R o multime si un punct ( finit sau infinit ). este punct de acumulare pentru multimea daca in orice vecinatate a lui exista puncte din diferite de

Un punct care nu este de acumulare se numeste punct izolat ( pentru ).

Limita unei functii

intr-un punct Fie si punct de acumulare pentru D.

Definitie

Spunem ca functia f are limita l in punctul daca

oricare ar fi sirul din D-{ }, avind limita ,

sirul valorilor are limita l (l poate fi finit sau infinit ).

Notatie

Deci

, , avem

Consecinte

- Limita functiei in punctul , daca exista, este unica.

- O functie elementara f are limita in orice punct de acumulare din domeniul maxim de definitie si valoarea limitei este f( ).

Limite laterale Limita stanga

Fie f : D -> R si R punct de acumulare ( finit )

pentru D.

Functia f are limita stanga in egala cu

, , , ,avem

Notatii

Valoarea limitei la stanga ( ) se mai noteaza

cu

Limita dreapta

Fie f : D -> R si R punct de acumulare ( finit )

pentru D.

Functia f are limita dreapta in egala cu , , , ,avem

Notatii

Valoarea limitei la dreapta ( ) se mai noteaza

cu

Teorema

(existenta limitei)

O functie are limita intr-un punct finit de acumulare

daca si numai daca are limite laterale egale

in acel punct.

are limita in

Definitie

Daca o functie are limite laterale finite intr-un punct finit de acumulare , atunci numarul real se numeste saltul

functiei f in punctul

Criterii pentru limite de functii Fie o multime si punct de acumulare pentru

- Criteriul majorarii

-Daca functiile satisfac conditia | | pentru orice diferit de , dintr-o vecinatate a lui si daca atunci ( este finit).

-Daca functiile satisfac conditia pentru orice diferit de , dintr-o vecinatate a lui si daca atunci

.-Daca functiile satisfac conditia pentru orice diferit de , dintr-o vecinatate a lui si daca atunci

- Teorema clestelui

Daca functiile satisfac conditiile:

pentru orice diferit de , dintr-o vecinatate a lui si , atunci

- Criteriul produsului

Daca functiile satisfac conditiile: si este marginita pe ,

atunci

- Trecerea la limita in inegalitati

Daca functiile satisfac conditiile: pentru orice diferit de , dintr-o vecinatate a lui si daca au limita in punctul , atunci