Matematici speciale

Dupa cum se cunoaste, se numeste gradientul functiei U(x,y,z) sau gradientul campului scalar U si se noteaza grad U, functia vectoriala:

in care U(x,y,z) este o functie reala, definita pe X I R 3 si derivabila pe X. Vectorul grad U(x0,y0,z0 ), este normal la

suprafata de nivel, in punctul U(x0,y0,z0 ). Daca se introduce operatorul

numit operatorul nabla sau operatorul Hamilton, atunci se poate scrie : grad U ???U .

In general, gradientul unei functii scalare j , oarecare, dupa o directie oarecare, n, se obtine luand diferenta functiei intre doua puncte invecinate, pe directia respectiva, impartind aceasta diferenta la distanta dintre cele doua puncte

si, in final, se ia valoarea limita a acestui raport,

Functia Matlab, care permite determinarea gradientului unei functii oarecare F, de N variabile (spatiu N dimensional), este gradient, care se poate apela cu una dintre sintaxele :

o FX=gradient(F,DX), unde F este un vector, restituie gradientul unidimensional, FX, a lui F, care corespunde derivatei partiale pe directia x, ?F / ?x , DX este pasul de esantionare, care se considera 1, daca este omis;

o [FX,FY] = gradient(F,DX,DY), unde F este o matrice, restituie componentele x si y ale gradientului bidimensional, astfel ca, FX corespunde

lui ?F / ?x , derivata partiala pe directia lui x (pe coloana), FY corespunde lui ?F / ?y , derivatei partiale pe directia lui y ( pe linie), iar DX este pasul de esantionare pe directia x si DY este pasul de esantionare pe directia y; daca

sunt omisi, DX=DY=1;

o [FX, FY, FZ...] = gradient (F,...), unde F are N dimensiuni, restituie cele n componente ale gradientului lui F;

o DYX=gradient(Y) sau dYX=gradient(Y,DY) returneaza un vector, care contine derivata numerica dY/dX, a functiei scalare Y. Pentru a reprezenta grafic gradientul, care este o functie vectoriala, este mpreferata functia Matlab quiver, ce reprezinta grafic mici sageti (vectori orientati), la fiecare pereche (X,Y) a matricelor X si Y si se apeleaza cu una dintre sintaxele: quiver(X,Y,DX,DY), quiver(X,Y,DX,DY,S), quiver(DX,DY).

Perechile (DX, DY) din matricele DX, DY, determina directia si modulul campului de vectori orientati.

Daca X si Y sunt vectori, X corespunde coloanelor lui DX si DY, iar Y corespunde liniilor acestora (X trebuie sa aiba lungimea egala cu numarul de coloane, iar Y cu numarul de linii).

Daca X si Y sunt omisi, se considera X = 1 : n si Y = 1 : m, unde m este numarul de linii al matricelor DX (DY), iar n numarul de coloane al acestora. Argumentul S, care este un scalar, permite aplicarea unui factor de scala, lungimii vectorilor orientati, de pe reprezentarea grafica.

Se pot folosi toate tipurile de linii sau culori, specificate de instructiunea plot.

Pentru exemplificare, se reprezinta grafic gradientul unui camp de vectori asociat functiei:

in domeniul X x Y = [-3, 3] x [-3, 3].

Programul Matlab este :

xp=-3:0.1:3; yp=-3:0.1:3; [x,y]=meshgrid(xp,yp); z=x .*exp(-x.^2-y.^2);

[px,py]=gradient(z,0.1,0.1); contour(x,y,z) ; hold on ;

quiver(x,y,px,py,1.5,'g') ; hold off ; xlabel('x') ; ylabel('y'),

obtinandu-se reprezentarea grafica din figura 13.2.

Daca in locul functiei scalare U(x,y,z), avem o functie vectoriala

definita pe X , cu valori scalare in , derivabila partial pe X, se poate defini divergenta functiei sau divergenta campului vectorial si se noteaza div ,functia scalara,

Se numeste rotorul functiei vectoriale sau rotorul campului vectorial si se noteaza rot functia vectoriala

De mentionat ca,divergenta unui vector oarecare, indiferent de sistemul de coordonate, se defineste ca

care ne spune ca, pentru a obtine divergenta unui vector intr-un punct, trasam o suprafata inchisa oarecare in jurul punctului si, pe aceasta suprafata, formam integrala de suprafata a vectorului, a carei valoare o impartim la volumul delimitat, iar pentru raportul astfel obtinut trecem la limita, in timp ce ne apropiem cu suprafata trasata de punctul respectiv.

Rotorul unui vector oarecare, in coordonate generale, se defineste ca