Statistică și probabilități

In practica deseori intalnim situatii cand trebuie cercetate simultan doua sau mai

multe variabile aleatoare definite pe acelasi spatiu de evenimente elementare.

Cuplul ordonat (X, Y) de variabile aleatoare X si Y se numeste variabila aleatoare

bidimensionala sau vector aleator al spatiului bidimensional.

Exemplul 3. 1. La o fabrica de materiale pentru constructii se stanteaza foi de tabla zincata.

Daca se verifica la intamplare lungimea foilor X si latimea lor Y, atrunci (X, Y) este

o variabila aleatoare bidimensionala. Daca, insa, este controlata si grosimea foilor

Z, atunci ne confruntam cu variabila aleatoare tridimensionala (X, Y, Z).

In acest capitol consideram doar cazul cand X si Y sunt variabile aleatoare

discrete cu numar finit de valori.

Multimea valorilor posibile ale variabilei (X, Y) si probabilitatile cu care sunt

luate acestea se numeste legea de repartitie a acestei variabile aleatoare.

Deci legea de repartitie a lui (X, Y) reprezinta succesiunea de probabilitati

P(X x , Y y ) p (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n) i j ij = = = = = ,

care se numeste repartitia variabilei aleatoare (X, Y) si care poate fi scrisa si sub

forma unui tabel (vezi tab. 3.1).

Multimea punctelor spatiului de de evenimente elementare (vezi ? 1.1) ? , astfel

incat X (?)= x si Y(?)= y , este un eveniment pe care il notam ,,X = x, Y = y".

Evenimentele ,,X = x, Y = y" formeaza un grup complet de evenimente, si deci

2

Tabelul 3.1

Y

X

y1

y2

...

yj

...

yn

?

x1 p11 p12 ... p1j ... n p1 p1

x2 p21 ... p2j ... n p2 p2

M M M ... ... M M

xi pi1 pi2 ... pij ... in p pi

M M M ... M ... M M

xm pm1 pm2 ... pmj ... mn p pm

?

q1

q2

...

qj

...

qn

1

?? ??

= = = =

= = = =

n

j

m

i

ij

n

j

m

i

i j P X x Y y p

1 1 1 1

( , ) 1. (3.1)

Fiind cunoscuta legea de repartitie a variabilei aleatoare (X, Y), pot fi determinate

legile de repartitie ale componentelor X si Y. In conformitate cu teorema adunarii

probabilitatilor,

( , ) ( ),

1 1

i i

n

j

ij

n

j

i j ?P x y = ? p = p = P X = x

= =

(3.2)

( , ) ( )

1 1

j j

m

i

ij

m

i

i j ?P x y = ?p = q = P Y = y

= =

. (3.3)

Exemplul 3. 2. Pentru variabila aleatoare bidimensionala (X, Y) cu legea de repartitie din

tabelul 3.2

Tabelul 3.2

Y

X

2

3

4

2

3

4

5

0,30

0,15

0,05

0,05

0,15

0,10

0,05

0

0,05

0,05

0,05

0

sa se determine repartitiile componentelor X si Y.

Rezolvare. Sumand probabilitatile din linia i, in baza formulei (3.2), rezulta ca

P(X = 2) = 0,30 + 0,15 + 0,05 = 0,50, P(X = 3) = 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,30,

P(X = 4) = 0,05 + 0,05 + 0,05 = 0,15, P(X = 5) = 0,05.

Observam, relatia (3.1) este satisfacuta: 0,50 + 0,30 + 0,15 + 0,05 = 1.

Sumabd elementele pe coloane, conform relatiei (3.3), obtinem

3

P(Y = 2) = 0,30 + 0,15 + 0,05 + 0,05 = 0,55, P(Y = 3) = 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,30,

P(Y = 4) = 0,05 + 0,05 + 0,05 = 0,15.

Si de aceasta data relatia (3.1) are loc. Asa dar legile de repartitie ale variabilelor X si

Y au forma:

? ??

?

? ??

?

? ??

?

? ??

?

0,55 0,30 0,15

2 3 4

, :

0,50 0,30 0,15 0,05

2 3 4 5

X : Y .

3.2. Functia de repartitie

Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare bidimensionale (X, Y)

functia de doua variabile reale x si y definita de

F(x, y) = P(X < x, Y < y) . (3.4)

Din punct de vedere geometric functia F(x, y) este probabilitatea ca punctul

aleator (X, Y) cu legea data de repartitie la aruncare sa nimereasca in ,,patratul

nemarginit" care are varful in punctul (x, y) si laturile paralele axelor de

coordonare Ox si Oy (vezi fig. 3.1).

Fig. 3.1

Ca si in cazul unudimensional pentru functia de repartitie bidimensionala F(x, y)

pot fi demonstrate urmatorele proprietati:

10 . F este nedescrescatoare in raport cu fiecare argument in parte, adica

( , ) ( , ) 1 2 1 2 x < x => F x y <= F x y oricare ar fi y ? R,

( , ) ( , ) 1 2 1 2 y < y => F x y <= F x y oricare ar fi x ? R;

20 . F(x, y) -> 0 daca cel putin una dintre variabilele x, y tinde catre -?;

30 . F(x, y) -> 1 daca atat x cat si y tind catre + ?;

40 . F(x, y) este continua la stanga in raport cu fiecare argument;

50 . Functiile unidimensionale

1. Began G. (coordonator) Teoria probabilitatilor si statistica matematica.-

Bucuresti: Ed. ASE, 2002.

2. Benichou P. Statistique descriptive et probabilites. - Paris: Telecom, 1988.

3. Blaga P. Calculul probabilitatilor si statistica matematica. Vol. II. Curs si

culegere de probleme.- Cluj-Napoca: Ed. Universitatea ,,Babes-Bolyai",

1994.

4. Ciucu G. Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matematica. -

Bucuresti: Ed. Didactica si Pedagogica, 1963.

5. Dumitrescu M., Florea D., Tudor C. Probleme de teoria probabilitatilor si

statistica matematica. - Bucuresti: Ed. Tehnica, 1985.

6. Gmurman V. E. Teoria probabilitatilor si statistica matematica (l. rusa). -

Moscova: Ed. Scoala Superioara, 1972.

7. Gmurman V. E. Compediu pentru rezolvarea problemelor de teoria

probabilitatilor si statistica matematica (l. rusa). - Moscova: Ed. Scoala

Superioara, 1975.

8. Gnedenko B. V. The theory of probability. - Moscow: Mir Publishers, 1976.

9. Graiu V. Teoria probabilitatilor cu exemple si probleme. - Bucuresti: Ed.

Fundat ia ,,Romania de Maine", 1995.

10. Gurschi E. I. Culegere de probleme pentru teoria probabilitatilor si

statistica matematica (l. rusa). - Minsk: Ed. Inv. Superior, 1984.

11. Iosifescu M., Mihoc Gh., Teodorescu R. Teoria probabilitatilor si statistica

matematica. - Bucuresti: Ed. Tehnica, 1966.

12. Ivasev-Musatov O. S. Teoria probabilitatilor si statistica matematica (l.

rusa). - Moscova: Ed. Nauka, 1979.

13. Mendenhall B. Introduction to Probability and Statistics. - California,

1979.

14.Mihoc Gh., Nicu N. Elemente de teoria probabilitatilor si statistica

matematica. - Bucuresti: Ed. Didactica si Pedagogica, 1974.

15.Mihoc Gh., Ciucu G., Craiu V. Teoria probabilitatilor si statistica

matematica. - Bucuresti: Ed. Didactica si Prdagogica, 1970.

16. Oprisan Gh. Sebe G. I. Compediu de teoria probabilitatilor si statistica

matematica. - Bucuresti: Ed. Tehnica, 1999.

17. Petrehus V., Popescu S.-V. Probabilitate si statistica (teorie, exemple,

probleme). - Bucuresti, 1997.

18.Postaru A., Leahu A. Probabilitate, procese aleatoare si aplicatii. -

Chisinau: Ed. Stiinta, 1991.

19. Simonescu C., Orman G., Cocan Al. Elemente de teoria probabilitatilor si

statistica matematica. - Brasov: Ed. Universitatea ,,Transilvania", 1982.

20. Tudor C. Teoria probabilitatilor. - Bucuresti: Ed. Universitatea Bucuresti,

2004.

21.Zambitchi D. Teoria probabilitatilor si statistica matematica. - Chisinau:

Ed. Evrica, 2000.