Variabilele aleatoare

Notiuni de baza

Fie campul de probabilitate (E,K, ) P

Definitia 1. Se numeste variabila aleatoare o functie asa incat multimea f : E - -

{ ( ) [0, ]} 1 x f x K - - - -

Observatia 1. in sens larg si fara a fi o definitie riguroasa, prin variabila aleatoare se intelege o variabila ale carei valori sunt evenimente intamplatoare.

Variabilele aleatoare sunt de doua feluri:

1. Variabile aleatoare discrete. Acest caz corespunde situatiei cand multimea este o

multime discreta, deci

E

E este de forma { } 1 2 , , , n E x x x =

Se noteaza i p probabilitatea asociata aparitiei rezultatului i x , i =1, n si in acest caz

variabila aleatoare se va nota cu X si se va reprezenta astfel:

1 2

1 2

n

n

x x x

X

p p p

- -

=- -

- -

-

-

Evident sunt indeplinite conditiile:

a) 0 , i p - i =1, n

b)

1

1

n

i

i

p

=

- =

Uneori pentru comoditatea notatiei variabilei aleatoare discreta se noteaza astfel:

i

i

x

x

p

- -

- -

- -

, i =1, n

evident, cu pastrarea conditiilor a) si b).

2. Variabilele aleatoare continue. Acest caz corespunde situatiei cand E este de forma [0, ] 1 E = , capetele si putand fi finite sau infinite. in acest caz variabila aleatoare se noteaza b a

X ( f (x)) , x- [a,b] unde functia f se numeste densitate de probabilitate si indeplineste

conditiile urmatoare:

a) ( ) 0, [ ] , fx x a - - - b

VARIABILELE ALEATOARE

b) ( ) 1

b

a

- f x dx =

Observatia 2. in cazul in care cel putin unul din capetele si sunt infinite atunci

conditia b) se verifica tinand seama de urmatoarele egalitati:

a b

( ) ()

0 0

lim f x dxfxdx

-

-

-

- -

- = -

( ) () lim

b b

f x dxfxdx

-

-

- - -

- -

- = - (calculul integralelor improprii)

( ) () lim f x dxfxdx

-

-

- -

-

- - -

- - - -

- = -

Reprezentarea grafica a variabilelor aleatoare

1. Cazul discret

Reprezentarea cea mai comoda este asa-numita reprezentare prin ,,bastoane" (adica

reprezentarea in sistemul de referinta Oxp a punctelor ( , ) i i i M x p unde ( ) i i p P X x = =

1. Jula, Dorin Econometrie, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 2003

2. Pecican, stefan Econometrie, Editura Economica, Bucuresti,2007

4. Tasnadi, Alexandru Econometrie,Editura economica, Bucuresti, 2006