Transformări geometrice

Definitie. O functie f: P (P sau o restrictie a unei asemenea functii se numeste transformarea geometrica.

Asadar, transformarea f este denumirea geometrica a functiei. Daca F este o figura geometrica (o submultime de pumcte ale planului P), atunci Se numeste Imaginea multimii F prin transformarea f (f (F) se mai numeste transformarea figurii F prin f; f (F) = F este transformatul punctului F prin f sau imaginea punctului F prin f) Atunci cand utilizam transformarile geometrice in rezolvarrea unor probleme de geometrie (aici discutam translatia si omoteria) trebuie sa stim: sa determinam punctele care corespund printr-o transformare geometrica.

1) Translatia in plan MM = v.

M Este interesant de vazut comportamentul unor figuri geometrice simple in urma unei translatii. Mai precis de stabilit care sunt elementele acestor figuri care se conserva (care nu se schimba-lungimea segmentului, masura unghiului, etc. ) Proprietati: Demonstrati (prin dubla incluziune) ca Cum patrulaterul AA B B este paralelogram, v T2: Translatia de vector v duce o dreapta intr-o dreapta oaralela cu cea data.

T v (d) = d, d || d.

OBS: Translatia de vector v conserva Paralelismul a doua drepte. V T3: Translatia de vector v conserva coliniaritatea unor puncte si ordinea lor. Mai precis aratati ca daca A, B, C, sunt coliniare, atunci T v (A), T v (B), T v (C) sunt de asemenea coliniare (figura 3). (utilizati Teorema lui Euclid), iar daca B ([AB], atunci d d d V V Figura 3. B B Figura 4. T4: Translatia conserva masura unghiurilor.

Demonstratie. Fie unghiul (ABC (figura 4. ). Atunci, T v (ABC) (A B C si m (ABC) = m (A B C). Din proprietatea T2 se deduce ca T v ([BA) =[B A, AB || A B.

Analog T v ([BC) = [B C, BC || B C.

Unghiurile (ABC si (A B C fiind cu laturile paralele situate in acelasi semiplan fata de BB sunt congruente.

(figura 4. ). T5; Translatia coserva raportul lungimilor a doua segmente.

Demonstratie. Fie punctele coliniare A, B, C, (figura 5. ) si vectorul v.

Prin translatia de vector v obtinem punctele coliniare A, B, C.

T6: Translatia transforma un poligon intr-un pligon congruent cu cel dat. Demonstratie. Se utilizeaza prorietatile T1 si T4, via congruenta poligoanelor. M1=T v1 (M). Punctul M1 prin translatia M1 V2 Deci punctul M se transforma in v1+v2. Figura 6. Definitie: Translatia in planul (este o transformare a planului (prin care toate punctele planului se deplaseaza in aceeasi directie si sens, cu aceeasi distanta intre orice punct si transformatul sau.

Prin uramre, orice translatie determina o clasa de vectori echipolenti si reciproc, orice clasa de vectori echipolenti determina o translatie. (figura 7. ) Terorema 1: Orice translatie a planului (A t (A) este o izometrie de genul unu.

A t (A) Figura 7. Teorema 2: multimea translatiilor planului (este grup comutativ in raport cu operatia de ...