Grupuri finite

Grupuri finite si proprietatile lor. Grupuri ciclice si operatiile de inmultire din grupurile ciclice. Grupuri de simetrie si importanta lor in studiu proprietatilor structurale ale compusllor chimici. Un grup este un set de elemente legate intre ele prin anumite operatii. Grupurile pot fi finite sau infinite dupa cum contin un numar limitat sau nelimitat de elemente. Operatia prin care sunt legate intre ele elementele din grupuri se numeste multiplicare sau combinare. Ea poate fi o operatie aritmetica sau algebrica. Pentru ca o colectie de elemente sa constituie un grup, ea trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii : (produsul adoua elemente oarecare din grup si patratul fiecarui element trebuie sa fie un element din grup. (un element din grup, E, numit element identitate este comutabil cu oricare altul si il lasa neschimbat simbolic, este definit prun relatiile : (A B) (C D) (E F) = A (B C) (D E) (F G) H = (A B) C (D E) (F G) H (fiecare element are un element reciproc care de asemenea apartine grupului. TEOREMA Elementul reciproc a doua sau mai multe elemente este egal cu produsul elementelor reciproce in ordine inversa: (A B C. X Y) -1 = Y-1 X-1. A-1 Multimea transformarilor de simetrie ale unui corp oarecare formeaza un grup. Grupul ciclic Un grup G generat de un singur element al sau se numeste grup ciclic. Grupul se obtine prin compunerea succesiva a elementelor generator cu el insusi sau cu alte cuvinte, ca puteri succesive ale elementelor generator. Grupurile ciclice sunt finite dar si infinite. In sudiul grupurilor ciclice este important sa se caracterizeze intru-un anumit fel numarul elementelor grupului. Aceasta se face cu ajutorul ordinului grupului, care este numarul elementelor unui grup. Ordinul unui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinuilui intregului grup. Un grup ciclic de ordin h este definit, cand este definit un element X si puterile sale pana la Xh = E. Grupurile ciclice sunt abeliene, adica toate multiplicarile sunt comutative : Xn Xm = Xm Xn, pentru oricare m si n Exemplu : Trebuie sa aflam cate grupuri de ordinul 4 exista si sa dresam tablele lor de multiplicare. Evident exista un grup ciclic pentru care sa utilizam relatiile : X =A ; X2 = B ; X3 = C; X4 = E Tabla sa de multipicare este: G4 In grupul G4 numai un element B este propriul sau invers. Grupuri mici care se gasesc intru-un grup mai mare se numesc subgrupuri. Acestea nu mai contin alte subgrupuri in afara de E. TEOREMA Ordinul unui subgrup, g, dintru-un grup de ordinul h, trebuie sa fie un divizor al ordinului h, adica h/g = k, unde k este un numar intreg. Daca A si X sunt doua elemente dintr-un grup atunci X-1 A X = B, unde B este un element din grup. Exprimam aceasta relatie spunand ca B este transformata de similitudine a lui A prin X ...