Funcții

Indiferent de modul in care este definita o functie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizeaza: domeniul de definitie, codomeniul si legea de corespondenta.

1. FUNCTII DEFINITE SINTETIC corespund acelor functii f : A? B pentru care se indica fiecarui element x din A elementul y = f (x) din B.

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu sageti, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o functie se utilizeaza cand A este o multime finita.

EXEMPLE. 1) Fie f : {1, 2, 3} ? {a,b} definita prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b.

In diagrama cu sageti sunt reprezentate multimile prin diagrame, iar legea de corespondenta

prin sageti.

A B Faptul ca fiecarui element x din A ii corespunde un unic

Element y = f (x) din B inseamna pentru diagrama cu sageti ca din fiecare element din A pleaca o singura sageata.

Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenta inseamna ca intr-un astfel de element pot ajunge una, mai multe sageti sau niciuna.

Aceeasi functie o putem defini utilizand tabelul de valori.

Acesta este format din doua linii. In prima linie se trec elemetele multimii pe care este definita functia, iar in a doua linie valorile functiei in aceste elemente.

Pentru cazul analizat tabelul arata astfel:

x 1 2 3

y = f (x) a a b

2) Functia ? : {1, 2, 3, 4} ? {1, 2, 3, 4} definita prin ?(1) = 3, ?(2) = 1, ?(3) = 4, ?(4) = 2 poate fi reprezentata sub forma unui tablou unde in rpima linie avem domeniul de definitie,

1 2 3 4

? =

3 1 4 2

iar in linia a doua sunt valorile functiei in punctele domeniului (3 este valoarea lui ? in x = 1, 1 este valoarea lui ? in x = 2, etc.). O astfel de functie se numeste permutare de gradul patru.

OBSERVATIE. Nu putem defini sintetic o functie al carui domeniu de definitie are o infinitate de elemente.

2. FUNCTII DEFINITE ANALITIC. Functiile ? : A? B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprietati sunt functii definite analitic. Corespondenta ? leaga intre ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa ?(x).

EXEMPLE. 1) Fie functia ? : R ? R, ?(x) = x2. Aceasta functie asociaza fiecarui numar real x patratul lui, x2.

2) Functia ? : Z ? Z, ?(x) = x - 1, daca x este par

x + 1, daca x este impar,

este exemplu de functie definita prin doua formule.

Functiile definite prin mai multe formule se numesc functii multiforme.

OBSERVATIE. In cazul functiilor multiforme, fiecare formula este valabila pe o anumita submultime a lui A si deci doua formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia si aceluias element.

Cea mai frecventa reprezentare a unei functii in matematica este printr-o formula. In acest caz, elementele domeniului de definitie si ale domeniului valorilor nu pot fi decat numere sau "obiecte matematice" pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunzatoare.

De exemplu: y = 3x - 2.

Cand asupra domeniului de definitie nu s-au facut ipoteze speciale, se considera ca facand parte din acesta toate numerele reale, carora din formula respectiva li se pune in corespondenta o anumita valoare.

In cazul functiei y = 3x - 2, domeniul de definitie este alcatuit din multimea numerelor reale.

IMAGINEA UNEI FUNCTII. PREIMAGINEA UNEI FUNCTII.

Fie ? : A ? B. Din definitia functiei, fiecarui element x ? A I se asociaza prin functia ? un unic element ?(x) ? B, numit imaginea lui x prin ? sau valoarea functiei ? in x.

EXEMPLE. Consideram functia ? : {1, 2, 3, 4} ? {a,b,c,d} data prin diagrama cu sageti.

Fie A' = {1, 2, 3}.

Atunci ?(A') = {?(1), ?(2), ?(3)} = {a,c}

A B

EXEMPLE. In functia ? : {-1, 0, 1, 2} ? {a, b, c, d, e} definita cu ajutorul diagramei cu sageti.

Atunci Im? = {?(-1), ?(0), ?(1), ?(2)} = {a, b, c} ? B.

A B

EXEMPLE. Se considera functia ? : {-1, 0, 1, 2} ? {1, 2, 3} definita prin diagrama cu sageti.

In acest caz, ?-1({1}) = {0}, deoarece ?(0) = 1;

?-1({2}) = {-1, 1} pentru ca ?(-1) = ?(1) = 2;

?-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece ?(-1) = 2, ?(0) = 1,

?(1) = 2.

1. "Matematica, manual pentru clasa a-IX-a, profil M1, M2", autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2000.

2. "Matematica, manual pentru clasa a-X-a algebra, profil M1", autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2001.

Materie predata de domnul profesor, Cristian Alexandrescu in anii scolari 2000 - 2001 si 2001 - 2002