Elemente de logică matematică

Din cele mai vechi timpuri omul a fost animat de dorinta de a cunoaste cat mai bine lumea inconjuratoare. Constatarile noastre despre aceasta lume le exprimam sub forma de afirma?ii cu privire la realitatea obiectiva. Aceste afirmatii pot imbraca forme diferite, cum ar fi de exemplu: propozi?ii enun?ate sau scrise intr-o anumita limba, formule din matematica, formule din fizica, desene, tablouri, partituri muzicale etc. Este foarte important ca aceste afirma?ii sa aiba sens, adica sa fie in?elese de catre cei carora le sunt adresate. De aceea, in cele ce urmeaza, vom lua in considerare numai astfel de afirma?ii. Pentru simplificare, afirma?iile cu sens le vom numi cu un singur termen propozi?ii.

Propozitiile pot fi studiate din mai multe puncte de vedere. Astfel, gramatica unei limbi studieaza propozitiile din punctul de vedere al exprimarii si scrierii corecte in acea limba, scriitorii sunt preocupati si de estetica exprimarii, pe filozofi ii intereseaza faptul daca anumite afirmatii despre lumea inconjuratoare corespund sau nu realitatii obiective etc.

Din punctul de vedere al logicii matematice este important numai faptul daca o propozitie este adevarata sau falsa. In acest sens, acceptam de la inceput urmatorul principiu numit principiul bivalentei: Orice propozitie este sau adevarata sau falsa si nu exista asemenea propozitii care in acelasi timp sa fie si adevarate si false.

Prin urmare, in baza pincipiului bivalentei, multimea tuturor propozitiilor se descompune in doua clase: clasa propozitiilor adevarate si clasa propozitiilor false si fiecare propozitie apartine uneia si numai uneia dintre aceste clase. Pentru a intelege mai bine acest lucru, sa consideram urmatoarele doua propozitii din matematica elementara:

(1) Numarul natural 2 divide numarul natural 4;

(2) Numarul natural 3 divide numarul natural 5.

In baza cunostintelor noastre de aritmetica, putem decide precis ca prima propo-zitie este adevarata, iar a doua este falsa. In matematica exista insa afirmatii despre care nu s-a reusit inca sa se decida daca sunt adevarate sau false. Cu siguranta insa, fie-care dintre aceste afirmatii sunt fie adevarate, fie false si nu pot fi si adevarate si false.

Mentionam faptul ca principiul bivalentei este o acceptiune, deci nu este absolut necesar in constructia unei teorii logice. Ne putem inchipui faptul ca propozitiile sunt impartite in mai mult de doua clase distincte doua cate doua.

7

Logica matematica care se construieste avand la baza principiul bivalentei se numeste logica bivalenta si pe aceasta ne propunem sa o studiem in cele ce urmeaza.

? 1. Formulele logicii propozitiilor

Pornind de la anumite propozitii date, cu ajutorul anumitor conective, se pot obtine propozitii noi. Desigur, este important faptul cum alegem aceste conective. Exista anumite conective care din punctul de vedere al constructiei diferitelor teorii matematice joaca un rol mai important, anume conectivele: "nu", "si", "sau", "daca , atunci", "daca si numai daca". Dar, sa vedem cum se formeaza propozitiile compuse cu ajutorul acestor conective:

a) Negatia. Cu ajutorul conectivului "nu", asezat in fata predicatului in sens gramatical, fiecarei propozitii ii putem asocia o noua propozitie numita negatia sa. Asa, de exemplu, negatia propozitiei "3 divide pe 5" este propozitia "3 nu divide pe 5";

b) Conjunctia. Oricare doua propozitii legate intre ele prin conectivul "si" ne dau o noua propozitie numita conjunctia lor. Astfel, propozitiile "3 divide pe 5"; "2 divide pe 4" au conjunctia "3 divide pe 5 si 2 divide pe 4";

c) Disjunctia. Oricare doua propozitii legate intre ele prin conectivul "sau" ne dau o noua propozitie numita disjunctia lor. Un exemplu de disjunctie este propozitia "3 divide pe 5 sau 2 divide pe 4";

d) Implicatia. Cu ajutorul conectivului "daca , atunci" la oricare doua propozitii le putem asocia o noua propozitie numita implicatia acestora. De exemplu, propozitia "daca 3 divide pe 5, atunci 2 divide pe 4" este implicatia propozitiilor "3 divide pe 5" si "2 divide pe 4";

e) Echivalenta. Oricare doua propozitii legate intre ele prin conectivul "daca si numai daca" ne dau o noua propozitie numita echivalenta lor. O astfel de propozitie este de exemplu "3 divide pe 5 daca si numai daca 2 divide pe 4".

Desigur, nu trebuie sa surprinda faptul ca printre exemplele de propozitii enumerate mai sus exista si propozitii false.

De asemenea, este clar ca pornind de la anumite propozitii compuse cu ajutorul conectivelor mentionate se pot forma noi propozitii.

Asa cum se obisnuieste in matematica, in scopul unei exprimari mai concise, este util sa folosim anumite simboluri si in logica matematica. In cazul nostru, vom nota cu litere mici ale alfabetului latin, de obicei prin sau , qq, propozitiile arbitrare, pe care le vom numi variabile propozitionale. De asemenea, conectivele "nu", "si", "sau", "daca , atunci" si "daca si numai daca" vor fi notate respectiv prin simbolurile " si se vor numi functori logici. pqr,,, "?""=><=>ipp12,,...12, ","","","-??

Propozitiile si propozitiile compuse, obtinute in mod intuitiv asa cum s-a aratat mai inainte, le vom numi formule. Dar, pentru a fi mai rigurosi, definim formula logica in mod recursiv prin urmatoarele patru conditii:

8

(i) Variabilele propozitionale sunt formule,

(ii) Daca H este formula, atunci ()H este formula,

(iii) Daca H1 si H2 sunt formule, atunci (, sunt formule, ()()()()HHHH1212??,,)()HH12=>()()HH1<=>

2

(iv) In logica propozitiilor nu exista alte formule in afara de cele obtinute prin conditiile (i) - (iii).

Asa de exemplu, prin conditia (i) variabilele propozitionale p si q sunt formule; apoi, prin conditia (ii) ()p si ()q)q<=> sunt formule, iar prin conditia (iii), sunt formule. De asemenea, se constata imediat ca urmatoarele siruri de simboluri sunt formule: ()()pq?,()()pq?,()()()(pqp=>,()()()()()()()()()()pq? p ? p , p ? q , ,

()()()()()()()()()()()()()()()()pppqpqppqp??=>?=>?,,,,()()()()pq=><=> ()()()()<=>=>qp etc.