Probabilități

CAPITOLUL 1

NOTIUNI FUNDAMENTALE ÎN TEORIA PROBABILITATILOR

1. Experiment aleator. Spatiu de selectie

Definitie: Prin experiment aleator vom întelege orice actiune care poate fi repetata în conditii similare si în care nu se cunoaste dinainte rezultatul ce va fi obtinut, dar se cunosc toate rezultatele posibile.

Exemple : Observarea pe un interval T de timp a functionarii unui agregat

Înregistrarea consumului de energie electrica de catre un mare combinat.

Definitie : Spatiul de selectie al unui experiment, notat prin E, este multimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului.

Exemplu : Cel mai simplu experiment este acela în care sunt posibile doua rezultate. Un astfel de experiment consta ,de exemplu, în verificarea unui transistor pentru a vedea daca este corespunzator sau nu. Spatiul de selectie al acestui experiment este: E = {C, D} (corespunzator, defect).

Exemplu : Un nou tip de baterie se considera corespunzatoare daca are voltajul între anumite limite. Un experiment consta în verificarea bateriilor ce ies de pe banda de fabricatie pâna când se obtine prima baterie defecta. Spatiul de selectie în acest caz este:

E= { D, CD, CCD, ...}

unde D= bateria verificata este defecta iar C = bateria este buna.

2. Evenimente

Definitie : Un eveniment este orice submultime de rezultate, inclusa în spatiul de selectie.

Un eveniment este elementar (sau simplu) daca el consta exact dintr-un rezultat si compus daca consta din mai multe rezultate.

Definitie : Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaza întotdeauna ca rezultat al experientei; va fi notat cu E (se asociaza multimii totale).

Evenimentul imposibil nu se poate realiza ca rezultat al unei experiente; va fi notat cu Æ (corespunde multimii vide).

Definitie : Evenimentele A si B sunt compatibile daca se pot realiza simultan.

Definitie : Evenimentele A si B se numesc incompatibile daca nu se pot realiza simultan; scriem A Ç B= Æ.De exemplu : un student nu poate fi in acelasi timp integralist si restantier.

Definitie : Evenimentul A implica evenimentul B si scriem A Ì B, daca realizarea evenimentului A implica realizarea evenimentului B.

Definitie : Doua evenimente A si B sunt echivalente daca A Ì B si B Ì A.

Exemplu : Un jucator la ‘6 din 49’ cumpara 2 bilete (variante simple) pe care le completeaza astfel incât nu coincid toate cele 6 numerele pentru cele 2 bilete. El poate câstiga la categoria I (marele premiu-daca ghiceste toate cele 6 numere pe un bilet), la categoria a II-a(daca ghiceste 5 dintre cele 6 numere pe un bilet), la categoria a III-a(daca ghiceste 4 numere dintre cele 6 pe un bilet) sau nu poate câstiga la nici una dintre categorii (ghiceste cel mult 3 numere castigatoare). Notam Aij=jucatorul câstiga la categoria i si categoria j (pentru noi este acelasi lucru a câstiga la categoria I si II cu a câstiga la categoria II si I). Cazurile posibile ce pot aparea la extragere sunt : A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23, A33(evenimente simple).

Evenimentul sigur: E={ A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23, A33}.

Un eveniment compus: jucatorul câstiga la cel mult o categorie ; acest lucru înseamna {A00, A01, A02, A03} (este format din 4 evenimente simple).

Eveniment imposibil : câstiga 2 premii la categoria I (sau are 3 bilete câstigatoare)

Evenimente incompatibile: A=’jucatorul câstiga la 2 categorii diferite’; B=’jucatorul nu câstiga nimic’ ; A={A12, A13, A23 } respectiv B={A00}=> A B=

Evenimente complementare: A=’jucatorul câstiga la 2 categorii’ ;B=’jucatorul câstiga la cel mult o categorie’; A={A12, A13, A23, A22, A33 } si B= {A00, A01, A02, A03}=> A B= , A B=E;

Evenimentul A=’jucatorul nu câstiga nimic’ implica evenimentul B=’jucatorul câstiga la cel mult o categorie’; A={A00} si B= {A00, A01, A02, A03}=>A B.

Definitie : Vom numi reuniunea evenimentelor A1,A2,...,Ak si o vom nota prin , evenimentul care se realizeaza când cel putin unul din evenimentele A1,A2,...,Ak se realizeaza.

Vom numi intersectie a evenimentelor A1,A2,...,Ak si o vom nota prin evenimentul care se realizeaza când se realizeaza toate evenimentele A1, A2, ...,Ak

Consecinte:

1.

2.Daca A Ì B Þ Ì

3.A È B= (A Ç B) È (A Ç ) È ( Ç B)

3. Definitia clasica a probabilitatii

Probabilitatea unui eveniment este o cuantificare a posibilitatii efective de realizare a evenimentului. Ea este legata de notiunea de frecventa relativa .

Sa consideram un experiment în urma caruia poate sau nu sa apara evenimentul A si sa notam cu “k” numarul de realizari ale acestui eveniment în “n” repetari ale experientei.