in multe aplicatii concrete multimea R a numerelor reale nu este suficienta
pentru a exprima rezultatele obtinute. Astfel in rezolvarea efectiva a ecuatiei
de gradul al doilea:
ax2 + bx + c = 0; a; b; c 2 R; a 6= 0 (1.1)
cu formula:
x1;2 =
tb -
p
b2 t 4ac
2a
(1.2)
deoarece b2 t 4ac poate sa fie negativ, apar numere care nu pot fi reale(nici
un numar real ridicat la patrat nu este negativ). Aceasta reprezinta unul din
motivele introducerii multimii numerelor complexe notata cu C cu proprietatea
R - C si presupunem ca exista un element(numar) din C, notat cu i, astfel
incat i nu apartinne lui R, i apartine lui C si orice element z 2 C fiind o pereche
ordonata de numere reale,notata cu z = (x; y) in care x = Rez; y = Imz (citite
real de z, reprezinta partea reala a numarului complex z, respectiv imaginar
de z, si reprezinta partea imaginara a numarului complex z ). Prin definitie
vom lua:
(1; 0) = 1; (0; 1) = i (1.3)
care reprezinta numerele complexe 1, respectiv i. Produsul acestora cu numere
reale, nenule vor fi definite astfel:
a(1; 0) = (a; 0) = a; b(0; 1) = (0; b) = bi; (8)a; b 2 R; (1.4)
9
10 CAPITOLUL 1. FUNCT II DE O VARIABILa COMPLEX- A.
Egalitatea numerelor complexe o vom defini astfel:
(x1; y1) = (x2; y2) , x1 = x2 si y1 = y2; (1.5)
Adunarea numerelor complexe o vom defini astfel:
(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); (1.6)
inmutirea numerelor complexe o vom defini astfel:
(x1; y1)(x2; y2) = (x1x2 t y1y2; x1y2 + x2y1); (1.7)
in acest mod multimea numerelor complexe C poate fi considerata ca fiind
definita axiomatic(ca multimea numerelor reale R) utilizand proprietatile
multimii R. Din proprietatea inmultirii se deduce:
i2 = (0; 1)(0; 1) = (t1; 0) = t1: (1.8)
in plus deoarece:
(a; b) = (a; 0) + (0; b) = a1 + bi = a + ib; (1.9)
vom nota in viitor un numar complex z 2 C; z = (x; y) prin z = x + iy =
Rez + iImz si vom putea scrie:
C = R + iR: (1.10)
Din modul de constructie al multimii C ca pereche ordonata de numere reale,
(x; y) 6= (y; x), rezulta posibilitatea reprezentarii numerelor complexe ca puncte
din planul R2 asupra careia nu vom mai insista, fiind studiata in liceu. Modul
de reprezentare(constructie) a multimii C fac valabilein C axiomele de adunare
si inmultire si axioma de distributivitate, ceeace inseamna ca opratiile de
adunare si inmultire vor avea aceleasi proprietati in C ca si in R. Axiomele
de ordine nu sunt valabile in C, de exemplu, daca am presupune i 2 C, i
pozitiv va trebui sa avem ii > 0 ceea ce inseamna t1 > 0, absurd, iar daca se
presupune i < 0 atunci ti > 0 si (ti)(ti) = i = t1 si deci nu putem admite
axioma de ordine.
Vom studia ce seintampla cu multimea C cand z seindeparteaza de origine.
in R s-a pus in evidenta elementele t1;+1, pentru aceasta vom utiliza
posibilitatea identificarii punctelor din planul complex cu punctele sferei din
R3 si se identifica planul complex cu punctele sferei unitate din R3.(Fig.1.1)
Planul xOy sau x3 = 0 Daca z = x + iy 2 C = xOy = x1Oy1, z are
coordonatele (x, y, 0) in R3. Sfera are ecuatia:
x21
+ x22
+ x23
= 1: (1.11)
1.1. NUMERE COMPLEXE. 11
Fig. 1.1:
N(0; 0; 1) este polul nord al sferei. Dreapta (D) ce trece prin N si prin z
inteapa sfera in Z si va avea coordonatele:
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
