Mecanică cuantică

In acest capitol vom aplica mecanica cuantica in studiul atomilor incepand cu

cazul cel mai simplu, atomul cu un singur electron. Acesta este totodata si cazul cel

mai important. De exemplu, studiul atomului de hidrogen, cu un singur electron,

a fost primul sistem pe care Schrodinger l-a tratat cu noua sa mecanica ondulatorie

(cuantica). Valorile proprii prezise de aceasta teorie sunt identice cu cele prezise de

modelul lui Bohr si con- rmate excelent de experien,ta. Aceasta a constituit, deci, o

prima veri- care a corectitudinii teoriei lui Schrodinger.

Dar teoria Schrodinger ne spune mult mai multe fapte decat predic,tia valorilor

proprii, intrucat ea prezice si func,tiile proprii. Folosind func,tiile proprii se pot studia

mai multe proprieta,ti ale atomului: (1) func,tiile densita,tii de probabilitate care ne dau

o imagine de detaliu a structurii atomului ce nu violeaza principiul de incertitudine,

asa cum o fac orbitele bine de- nite din modelul lui Bohr, (2) momentele cinetice

orbitale, pe care modelul lui Bohr le prezice incorect, (3) spinul electronului ca si alte

efecte relativiste din atom si, (4) ratele tranzi,tiilor atomului de pe stari excitate pe

starea fundamentala - marimi masurabile ce nu se pot prezice deloc cu modelul lui

Bohr.

Pe langa importan,ta sa istorica si intrinseca, teoria Schrodinger a atomului cu

un singur electron are o importan,ta practica deosebita - indca formeaza baza tratarii

cuantice a atomilor cu mai mul,ti electroni, ca si a moleculelor sau nucleelor.

Atomul cu un singur electron este cel mai simplu sistem legat din natura. Dar

el este mai complicat decat sistemele studiate pana acum - inca con,tine doua particule

si - inca este tridimensional.

Faptul ca atomul unielectronic con,tine doua particule nu ne provoaca nici o

di- cultate, daca se foloseste tehnica masei reduse. Aceasta tehnica, bine cunoscuta

inca din mecanica clasica, introduce in locul atomului real un model in care nucleul

este in- nit greu si, deci, imobil iar electronul, singurul mobil, are o masa redusa -

data de

- =

-

M

m +M

-

m; (6.1)

m si M - ind masele reale ale electronului, respectiv nucleului. In Fig.6.1 prezentam

comportarea electronului si a nucleului in atomul real si in modelul masei reduse. In

ambele cazuri centrul de masa este in repaus. De asemenea, in ambele cazuri distan,ta

electron nucleu este aceeasi. In modelul real, in - gura, raza traiectoriei nucleului este

mult exagerata; daca am - respectat propor,tiile, cele doua desene ar - fost practic

identice.

2

Fig.6.1

Caracterul tridimensional al problemei introduce, ce-i drept, complica,tii, dar

numai din punct de vedere matematic. In principiu, va trebui sa rezolvam ecua,tia

Schrodinger independenta de timp pentru a aa valorile proprii ale energiei si func,tiile

proprii. Acum, hamiltonianul sistemului este cel din expresia (6.90) in cazul in care

poten,tialul V (r;t) depinde numai de marimea lui r, iar masa m se inlocuieste cu masa

redusa - Vom avea de rezolvat ecua,tia

-

~2

2mr2 (x; y; z) + V (x; y; z) (x; y; z) = E (x; y; z) (6.2)

cu

V (x; y; z) = V (r) = - Ze2

4- "0

p

x2 + y2 + z2

= - Ze2

4- "0r

: (6.3)

De notat ca in trei dimensiuni ecua,tia (6.2) este o ecua,tie cu derivate par,tiale fa,ta

de coordonatele x; y; z. Pentru a rezolva ecua,tia (6.2) ar trebui sa aplicam tehnica

separarii variabilelor. Aceasta func,tioneaza bine in cazul unidimensional al ecua,tiei

Schrodinger dependente de timp, daca V nu depinde de timp. In cazul de fa,ta, V

depinde in mod simetric de toate cele trei coordonate x; y; z. Deci, nu putem face o

separare a variabilelor in coordonate carteziene. Formula (6.3) ne sugereaza insa ca

aceasta separare s-ar putea face intr-un sistem in care r este una dintre coordonate.

Acest sistem, prezentat in Fig.6.2 este sistemul coordonatelor sferice polare (sau mai

pe scurt sferice).

3

Fig.6.2

x = r sin - sin '

y = r sin - cos ' (6.4)

z = r cos -

cu condi,tiile

r 2 [0;1)

- 2 [0; - ] (6.5)

' 2 [0; 2- ]

In aceste coordonate formula poten,tialului, dupa cum am vazut, se simpli- ca, insa

se complica forma operatorului Lapaceian. Intr-adevar, folosindu-se expresiile (6.4)

se arata ca

r2 =

1

r2

@

@r

-

r2 @

@r

-

+

1

r2 sin2 -

@2

@'2 +

1

r2 sin2 -

@

@-

-

sin -

@

@-

-

: (6.6)

Totusi, merita facuta aceasta schimbare de coordonate, - inca dupa cum vom vedea,

acum se pot separa variabilele. In coordonate polare hamiltonianul va avea expresia

H = -

~2

2-

-

1

r2

@

@r

-

r2 @

@r

-

+

1

r2 sin2 -

@2

@'2 +

1

r2 sin2 -

@

@-

-

sin -

@

@-

- -

+ V (r) (6.7)

sau

H = -

~2

2-

-

1

r2

@

@r

-

r2 @

@r

-

-

L2

~2r2

-

+ V (r): (6.8)

4

In (6.8) am identi- cat termenii dependen,ti de - si de ' din (6.7) ca - ind propor,tio-

nali cu patratul momentului cinetic total. Atunci, putem scrie ecua,tia Schrodinger

atemporala

-

-

~2

2-

-

1

r2

@

@r

-

r2 @

@r

-

-

L2

~2r2

-

+ V (r)

-

(r; - ; ') = E (r; - ; '): (6.9)

Pentru a simpli- ca rezolvarea acestei ecua,tii, sa ,tinem cont de faptul ca operatorii L2

si Lz nu ac,tioneaza asupra variabilei radiale r, iar Lz comuta cu L2. Adica, pentru

un poten,tial V (r) cu simetrie sferica - camp central - exista rela,tiile