Mecanică

Coordonate si viteze generalizate. Spatiu de configuratie.

Mecanica analitica este o metoda generala care se bazeaza pe principii variationale.

Un sistem mecanic este supus la legaturi daca i se impun anumite restrictii geometrice, adica exista o dependenta functionala intre coordonate, viteze si timp

f(rr1, rr2, , rrn, vr1, 2, , n, t) = 0 (1.1) vrvr

In lipsa unor legaturi, configuratia unui sistem de n puncte materiale va fi determinata la un moment dat de 3n coordonate carteziene x1, y1, z1, , xn, yn, zn. Un astfel de sistem are 3n grade de libertate care definesc univoc pozitia in spatiu la un moment dat a tuturor punctelor din sistem in raport cu un sistem de referinta. Daca intre cele 3n coordonate exista - relatii de legatura, numarul gradelor de libertate se reduce la f = 3n-- In acest caz configuratia sistemului se poate defini daca se cunosc numai f coordonate independente q1, q2, , qf numite coordonate generalizate

q1 = q1(x1, y1, z1, , xn, yn, zn)

(1.2)

qf = qf (x1, y1, z1, , xn, yn, zn)

Meanica analitica are avantajul ca elimina relatiile de legatura.

In mecanica o coordonata generalizata poate fi o distanta sau un unghi, in timp ce in domeniul electromagnetismului putem considera drept coordonata generalizata o sarcina electrica sau un flux magnetic.

Vitezele generalizate se exprima prin relatiile:

q&i = dtdqi, i = 1, 2, , f (1.3)

Starea mecanica a sistemului de n puncte materiale cu f grade de libertate este complet determinata de 2f parametri si anume de cele f coordonate generalizate si cele f viteze generalizate. Ne putem imagina un spatiu cu f dimensiuni in care un punct figurativ determinat de marimile q1, q2, , qf sa reprezinte configuratia sistemului la un moment dat, adica pozitia tuturor punctelor materiale in raport cu un referential. Acest spatiu se numeste spatiu de configuratie. La trecerea sistemului de la o stare initiala - 0 la o alta stare - , punctul reprezentativ va descrie o traiectorie in spatiul de configuratie, reprezentata prin ecuatiile:

q1 = q1(t), q2 = q2(t), , qf = qf(t) (1.4)

2. Ecuatiile Lagrange de speta I-a si a II-a

Consideram o particula M care descrie o curba plana. Daca particula ar fi libera, am avea 3 grade de libertate si deci trei coordonate generalizate. Deoarece avem o restrictie legata de miscarea particulei intr-un plan, rezulta ca avem o legatura (z = 0) si deci pentru descrierea miscarii sunt suficiente doua coordonate generalizate r si - , numite coordonate polare plane.

Din figura rezulta:

x = r cos -

y = r sin - (1.5)

- 2 -

rr = x + y = r- (1.6) irjrr

- r = cos - + irjr sin - (1.7)

x& = r& cos - - r - sin - &

y& = r&sin - + r cos -