Teoria elasticitatii

Teoria elasticitatii este stiinta care se ocupa cu studiul starii de tensiune si deformatie din corpuri, indiferent de forma si raportul dimensiunilor geometrice, in baza ipotezei elasticitatii liniare a materialului. Obiectul de studiu al acestei discipline este elaborarea unor metode de calcul pentru determinarea rezistentei, rigiditatii si stabilitatii corpurilor ideal elastice aflate in echilibru static sau dinamic, indiferent de forma lor sub actiunea incarcarilor.

Spre deosebire de Rezistenta materialelor, al carui obiect de studiu il constitue corpurile de tip bara, Teoria elasticitatii, renuntand la o serie de ipoteze simplificatoare, studiaza starea de tensiune si deformatie din corpuri indiferent de raportul dintre dimensiunile geometrice.

Pentru corpurile deformabile la care marimea inaltimii sectiunii este comparabila cu deschiderea, deplanarea sectiunii transversale nu mai este neglijabila si in consecinta ipoteza sectiunilor plane si normale la axa elementului nu se mai poate admite. De asemenea, marimea zonelor de perturbare a starii de tensiune din jurul punctelor de aplicatie ale fortelor fiind proportionala cu inaltimea sectiunii nu poate fi neglijata atunci cand geometria corpurilor nu se incadreaza in limitele prevazute pentru bare. In consecinta, legea de variatie a tensiunilor pe inaltimea sectiunii nu mai poate fi stabilita prin analiza experimentala, ceea ce conduce la imposibilitatea rezolvarii ecuatiilor de echivalenta iar sectionarea corpului devine improprie solutionarii problemei. Pentru a inlatura aceste limite, Teoria elasticitatii, utilizeaza un model care surprinde mai bine fenomenul fizic real si permite dezvoltarea unor calcule adecvate.

1. 2 Exprimarea echilibrului in Teoria elasticitatii

Fie elementul plan care are conturul de forma oarecare, incarcat cu un sistem de forte in echilibru. Echilibrul mecanic se exprima pe elemente infinitezimale (dx, dy) interioare de tip 1 si exterioare de tip 2, detasate din corpul deformabil cu plane paralele cu sistemul de axe cartezian xOy (fig. 1.1). Din echilibrul mecanic al elementelor interioare (fig. 1.1 b) se obtin relatiile care exprima dependenta dintre tensiunile ce definesc starea de tensiune din punctul respectiv cunoscute sub denumirea de ecuatii diferentiale de echilibru. Echilibrul exprimat pe elementele de contur, satabileste legaturile dintre tensiuni si incarcarea exterioara, fiind cunoscute sub denumirea de conditii de contur.

Fig. 1.1

Numarul necunoscutelor (tensiunilor) care intra in ecuatiile diferentiale de echilibru este mai mare decat numarul acestora, problema fiind static nedeterminata. Pentru a inlatura aceasta nedeterminare statica, este necesara analiza deformatiilor si deplasarilor care se dezvolta in corp, stabilindu-se relatiile de dependenta dintre tensiuni si aceste marimi. Corpul fragmentat intr-o infinitate de elemente este identic cu cel initial, daca aceste elemente determina un mediu continuu identic cu mediul corpului nesectionat. Aceasta conditie constitue conditia de continuitate a deformatiilor, care se exprima matematic in baza analizei geometrice a deplasarilor, conducand la relatiile de dependenta dintre deplasari si deformatii. Pentru a ajunge la necunoscutele din ecuatiile de echilibru (tensiunile), se utilizeaza legea fizica a materialului respectiv. In concluzie, in Teoria elasticitatii, echilibrul se exprima sub forma completa (ecuatii de echilibru static si conditiile de contur la care se adauga conditia de continuitate a deformatiilor), pe portiuni elementare, care conduce la relatiile diferentiale de calcul.

Ecuatiile de echilibru static si ecuatiile geometrice fac parte din ecuatiile generale ale mecanicii mediului continuu deformabil deoarece nu depind de natura materialului.

1. 3 Ipotezele Teoriei elasticitatii

Pentru ca fenomenele fizice reale sa fie accesibile calculului matematic, este necasara admiterea unor ipoteze care sa conduca la simplifiacarea si generalizarea acestora. Aceste ipoteze se grupeaza in urmatoarele categorii:

a) Ipoteze care idealizeaza structura materialului:

o Ipoteza materialului continuu

Structura materialului alcatuita in realitate din particule discrete, se considera un mediu continuu, fara goluri si in consecinta materia umple intregul volum al corpului. Aceasta ipoteza permite utilizarea functiilor continue pentru exprimarea matematica a fenomenelor fizice.

o Ipoteza omogenitatii materiei

Aceasta ipoteza presupune ca proprietatile fizico-mecanice ale materiei sunt aceleasi in orice punct al corpului. Pentru corpurile alcatuite din mai multe tipuri de materiale, cunoscute sub denumirea de elemente compozite (rasini armate cu fibre de stcla, betonul armat, etc.) pentru fiecare material se adopta ipoteza omogenitatii.

o Ipoteza izotropiei materiei

Se considera ca proprietatile fizice din orice punct al materiei sunt aceleasi dupa orice directie. Aceasta ipoteza permite exprimarea relatiilor dintre tensiuni si deformatii prin intermediul a doua constante elastice care au aceeasi valoare in orice punct al corpului datorita proprietatii de omogenitate.

b) Ipoteze privind comportarea materialului sub actiunea incarcarilor

o Ipoteza elasticitatii liniare

Elasticitatea liniara a materiei presupune ca pentru fiecare valoare a incarcarii exista o relatie biunivoca liniara intre tensiuni si deformatii specifice, cunoscuta sub denumirea de legea lui Hooke. Materialele care nu asculta de legea lui Hooke, desi au o comportare elastica sunt denumite materiale neliniar elastice.

o Ipoteza deplasarilor si deformatiilor mici

Deplasarile corpurilor sunt mici in raport cu dimensiunile geometrice, astfel incat ecuatiile de echilibru se pot scrie pe forma nedeformata. In baza acestei ipoteze, deformatiile liniare si unghiulare specifice sunt neglijabile in raport cu unitatea iar patratele lor constitue marimi ce se pot neglija in raport cu valorile deformatiilor specifice liniare si unghiulare. Astfel, in conditiile specificate anterior se respecta ipoteza liniaritatii geometrice, deformatiile exprimandu-se liniar in raport cu diferentialele deplasarilor punctelor corpului.

o Ipoteza starii naturale

Ipoteza presupune ca toate corpurile studiate in Teoria elasticitatii sunt lipsite de tensiuni in absenta actiunilor, deci nu au tensiuni initiale.

o Principiul efectului local sau principiul lui Barre de Saint-Venant

Daca un sistem de forte se inlocuieste cu un sistem static echivalent, actionand pe aceeasi zona limitata de pe suprafata unui corp, starea de tensiune si de deformatie este aceeasi in ambele cazuri, cu exceptia unei zone limitate din jurul punctelor de aplicatie ale fortelor. Astfel, starea de tensiune dintr-un corp, se poate studia si atunci cand se cunosc numai rezultantele fortelor exterioare fara a cunoaste cu precizie distributia efectiva a acestor forte in fiecare punct al zonei de aplicare. In baza acestui principiu, unele conditii complicate de contur exprimate in tensiuni se pot inlocui cu altele, daca rezultantele si momentul rezultant al noului sistem de tensiuni pe contur sunt egale cu cele ale sistemului initial.